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Ich habe zwei Aufgaben mittels Vollständiger Induktion zu lösen. Die erste glaube ich richtig gemacht zu haben, bei der zweiten gibt es größere Probleme.
Die Fibonaccifolge ist folgendermaßen definiert:
[mm] F_{1} [/mm] = 1
[mm] F_{2} [/mm] = 1
[mm] F_{n} [/mm] = [mm] F_{n-1} [/mm] + [mm] F_{n-2} [/mm] für n := 3,4,5...
a) [mm] F_{1} [/mm] + [mm] F_{2} [/mm] + ... + [mm] F_{n-1} [/mm] + 1 = [mm] F_{n+1}
[/mm]
IA: [mm] F_{1} [/mm] + 1 = [mm] F_{3}
[/mm]
1 + 1 = [mm] F_{1} [/mm] + [mm] F_{2}
[/mm]
2 = 1 + 1
2 = 2
IV Behauptung gilt bis n
IS n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] F_{1} [/mm] + ... [mm] F_{n-1} [/mm] + [mm] F_{n} [/mm] +1 = [mm] F_{n+2}
[/mm]
[mm] F_{n} [/mm] + [mm] F_{n+1} [/mm] = [mm] F_{(n+2)-2} [/mm] + [mm] F_{(n+2)-1}
[/mm]
[mm] F_{n} [/mm] + [mm] F_{n+1} [/mm] = [mm] F_{n} [/mm] + [mm] F_{n+1} [/mm]
Hoffe das ist so richtig gelöst.
b)
[mm] F_{n-1} F_{n+1} [/mm] = [mm] F_{n}^{2} [/mm] +1 für gerade n [mm] \in \IN
[/mm]
IA [mm] F_{1} F_{3} [/mm] = [mm] F_{2}^{2} [/mm] +1
1 * 2 = [mm] 1^{2} [/mm] +1
2 = 2
IV Behauptung gilt bis n
IS n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] F_{n} F_{n+2} [/mm] = [mm] F_{n+1}^{2} [/mm] +1
Hier weiß ich jetzt nicht weiter, glaube aber etwas mit der Voraussetzung anfangen zu können, dass n gerade ist.
Ganz trivial und falsch wäre bestimmt zu sagen:
[mm] F_{n-1} F_{n+1} [/mm] = [mm] F_{n}^{2} [/mm] +1
n-1:=n
=> [mm] F_{n} F_{n+2} [/mm] = [mm] F_{n+1}^{2} [/mm] +1
=> [mm] F_{n+1}^{2} [/mm] +1= [mm] F_{n+1}^{2} [/mm] +1
Danke jetzt schonmal.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die erste Aufgabe ist richtig.
Und du hast Recht, die 2. Aufgabe kannst du nicht einfach so machen.
Betrachte hier stattdessen mal den Schritt von n [mm] \to [/mm] n+2. Denn wenn n gerade war, ist n+2 die nächste gerade Zahl.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Das leuchtet mir ein.
Dann habe ich doch folgendes:
[mm] F_{n+1} F_{n+3} [/mm] = [mm] F_{n+2}^{2} [/mm] +1
vlt kann ich das Umschreiben in
[mm] (F_{n-1} [/mm] + [mm] F_{n}) (F_{n+1} [/mm] + [mm] F_{n+2}) [/mm] = [mm] F_{n+2}^{2} [/mm] +1
=> [mm] F_{n-1}F_{n+1}+F_{n-1}F_{n+2}+F_{n}F_{n+1}+F_{n}F_{n+2}= F_{n+2}^{2} [/mm] +1
[mm] =>F_{n}^{2}+1 [/mm] + [mm] F_{n-1}F_{n+2}+F_{n}F_{n+1} [/mm] + [mm] F_{n+1}^{2}+1 [/mm] = [mm] F_{n+2}^{2} [/mm] +1
aber bringt mich das weiter? Ich weiß nicht mal, ob das so richtig ist.
[mm] F_{n+1} F_{n+3} [/mm] = [mm] F_{n+2}^{2} [/mm] +1 ist also meine Ausgangsposition. Aber wie schaffe ich es diese zu beweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
[mm] F_nF_{n+2} [/mm] kannst du nicht zu [mm] F_{n+1}^2+1 [/mm] machen! Ich habe es so gemacht:
[mm] F_{n+1}F_{n+3}=(F_{n-1}+F_n)*(F_{n+1}+F_{n+2})=F_{n-1}F_{n+1}+F_{n-1}F_{n+2}+F_{n}F_{n+1}+F_{n}F_{n+2}=F_n^2+1+F_{n-1}F_{n+2}+F_{n}F_{n+1}+F_{n}F_{n+2} [/mm] (also so wie du, nur ohne die 2. Anwendung der Induktionsvoraussetzung).
Nun ist es einfacher, wenn du anfängst, Faktoren auszuklammern. z.B. kannst du [mm] F_{n-1}F_{n+2}+F_{n}F_{n+2} [/mm] zu [mm] F_{n+2}(F_{n-1}+F_n)=F_{n+2}F_{n+1} [/mm] machen. Danach klammerst du noch ein [mm] F_n [/mm] und am Ende ein [mm] F_{n+2} [/mm] aus und du bist fertig.
Teufel
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Vielen, vielen Dank, du hast mir sehr geholfen.
Ich habe auch noch einen Freund gefragt, der mir gesagt hat, man könne dies ganz einfach mittels binomischer Formel lösen.
Erreiche ich diese, wenn ich anders ausklammere?
gruß Heatshawk
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hm ja, man kann das auch sicher so machen, dass man einfach das [mm] F_{n+2}^2 [/mm] auf de rechten Seite schon vorher als [mm] (F_n+F_{n+1})^2 [/mm] schreibt und das ausmultiplizierst.
Teufel
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