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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktion - Aufgabe
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Induktion - Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Sa 20.03.2010
Autor: s-jojo

Aufgabe
Zeige durch Induktion:

[mm] \summe_{i=1}^{2n}(-1)^i*k=n [/mm]

Ich hab das für n=1 durchgerechnet und für den Induktionsschritt [mm] n\mapsto [/mm] n+1 auch, bei einer Sache bin ich mir jedoch nicht ganz so sicher und ich komm nicht drauf, wie ich hierbei sichergehen kann, was ich mache.

Folgende Frage: Ich hab den Induktionsschritt so gemacht

[mm] \summe_{i=1}^{2(n+1)}(-1)^i*k=\summe_{i=1}^{2n+2}(-1)^i*k= \summe_{i=1}^{2}(-1)^i*k+(-1)^{2n+1}*(2n+1)+(-1)^{2n+2}*(2n+2) [/mm]

Meine Unsicherheit liegt bei [mm] "\summe_{i=1}^{2}(-1)^i*k" [/mm] - schreibt man da "2n" oder "2" hin?
Und könntet ihr erklären, wieso man das eine oder andere hinschreibt?



        
Bezug
Induktion - Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Sa 20.03.2010
Autor: abakus


> Zeige durch Induktion:
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{2n}(-1)^i*k=n[/mm]
>  Ich hab das für n=1 durchgerechnet und für den
> Induktionsschritt [mm]n\mapsto[/mm] n+1 auch, bei einer Sache bin
> ich mir jedoch nicht ganz so sicher und ich komm nicht
> drauf, wie ich hierbei sichergehen kann, was ich mache.
>  
> Folgende Frage: Ich hab den Induktionsschritt so gemacht
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{2(n+1)}(-1)^i*k=\summe_{i=1}^{2n+2}(-1)^i*k= \summe_{i=1}^{2}(-1)^i*k+(-1)^{2n+1}*(2n+1)+(-1)^{2n+2}*(2n+2)[/mm]
>  
> Meine Unsicherheit liegt bei [mm]"\summe_{i=1}^{2}(-1)^i*k"[/mm] -
> schreibt man da "2n" oder "2" hin?

Hallo, die Summe der ersten (2n+2) Glieder besteht aus den ersten 2n Gliedern (die laut IV den Wert n hat)
plus dem (2n+1). Summanden (der ist -(2n+1) )
plus dem (2n+2). Summanden (der ist +(2n+2) )
Gesamtsumme:  n - (2n-1) + (2n+2) =....

Dein Endwert in der ersten Summe ist nicht 2, sondern 2n.

Gruß Abakus

> Und könntet ihr erklären, wieso man das eine oder andere
> hinschreibt?
>
>  


Bezug
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