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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Do 28.10.2010 | | Autor: | S6214716 |
| Aufgabe 1 | Finden und beweisen Sie eine Summenformel für
1²+3²+5²+...+(2n-1)² wobei n>0 |
| Aufgabe 2 | | Beweisen Sie mit vfollständiger Induktion das für jede reelle Zahl x ungleich 1 gilt 1+x+x²+...+xhoch n =(1-xhoch n+1)/(1-x) |
| Aufgabe 3 | Bewiesen Sie mit vollständiger Induktion das gilt
1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+.... +n)² für alle n >0 |
Hallo! ich habe ein Problem mit der vollständigen ich hoffe das ihr mir bei den Aufgaben die ich ins obere feld geschrieben habe helfen KÖNNT DA ICH ÜBERHAUPT NICHT VORAN KOMME UND AUCH KEINEN aNSATZ HABE viele DankE
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sascha und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> (1). Finden und beweisen Sie eine Summenformel für
> 1²+3²+5²+...+(2n-1)² wobei n>0
>
> (2) Beweisen Sie mit vfollständiger Induktion das für
> jede reelle Zahl x ungleich 1 gilt 1+x+x²+...+xhoch n
> =(1-xhoch n+1)/(1-x)
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> (3) Bewiesen Sie mit vollständiger Induktion das gilt
> 1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+.... +n)² für alle n >0
> Hallo! ich habe ein Problem mit der vollständigen ich
> hoffe das ihr mir bei den Aufgaben die ich ins obere feld
> geschrieben habe helfen KÖNNT DA ICH ÜBERHAUPT NICHT
> VORAN KOMME UND AUCH KEINEN aNSATZ HABE viele DankE
Na, ihr müsst doch irgendwas zum Thema vollst. Induktion gemacht haben ...
Nehmen wir mal die 2)
Sei also [mm]x\neq 1[/mm]
Zunächst müssen wir den Induktionsanfang machen und zeigen, dass die Beh. für [mm]n=1[/mm] gilt:
Zu zeigen ist im Induktionsanfang also [mm]1+x^1=\frac{1-x^{1+1}}{1-x}[/mm]
Dh. [mm]1+x=\frac{1-x^2}{1-x}[/mm]
Und? gilt das? Klar, kannst du kurz zeigen, warum?
Dann müssen wir den Induktionsschritt [mm]n\to n+1[/mm] machen.
Dazu fixieren wir ein beliebiges [mm]n\in\IN[/mm] und nehmen an, dass die Beh. für dieses [mm]n[/mm] gilt:
Gelte also [mm]\red{1+x+x^2+\ldots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}}[/mm]
Das ist die sog. Induktionsvoraussetzung (IV)
Im eigentlichen Induktionsbeweis müssen wir nun zeigen, dass unter dieser Voraussetzung gefälligst die Beh. auch für [mm]n+1[/mm] gilt, dass also
[mm]1+x+x^2+\ldots+x^n+x^{n+1}=\frac{1-x^{(n+1)+1}}{1-x}[/mm] ist
Dazu nehmen wir die linke Seite her und versuchen, sie so umzuformen, dass wir die IV anwenden können.
Mal sehen: [mm]1+x+x^2+\ldots+x^{n+1}=\red{\left(1+x+x^2+\ldots+x^n\right)}+x^{n+1}[/mm]
Nun können wir auf den roten Ausdruck die IV anwenden:
[mm]\ldots=\red{\frac{1-x^{n+1}}{1-x}}+x^{n+1}[/mm]
Das fasse nun zusammen (gleichnamig machen ...), dann solltest du schlussendlich auf [mm]\ldots=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}[/mm] kommen.
Soweit zum Prinzip.
Schau's dir in Ruhe an. Du kannst es dann sicher auf Aufgabe 3) übertragen.
Ein Tipp noch zu Aufgabe 1).
Da kannst du völlig ohne Induktion auskommen, wenn du schon die Formel für die ersten n natürlichen Zahlen kennst, also [mm]1+2+3+\ldots+n=\Box[/mm] und die Formel für die ersten n Quadratzahlen: [mm]1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\Box[/mm]
Denn: [mm]1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2=\sum\limits_{k=1}^{n}(2k-1)^2[/mm]
Wende die binomische Formel an und ziehe die Summe auseinander ...
So, nun schaue dir das alles in Ruhe an und versuche, es umzusetzen..
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> Gruß
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LG
schachuzipus
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