Induktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Do 14.04.2005 | | Autor: | BoomBoom |
<ich habe diese Frage nirgends wo anders gestellt>
Hallo,
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
"2. Wir beweisen durch vollständige Induktion, daß alle Personen in einem Raum das gleiche Geschlecht haben. Induktionsanfang: Im Fall, daß nur eine Person im Raum ist, ist die
Behauptung offensichtlich richtig. Induktionsschritt: Wir numerieren die Personen mit 1,...,n+1. Nun verläßt Person n +1 den Raum. Nach Induktionsvoraussetzung haben
die verbleibenden Personen 1,...,n das gleiche Geschlecht. Person n + 1 kommt zurüuck, und Person 1 verläßt den Raum. Wiederum können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden und schließen, daß die Personen 2,..., n+1 das gleiche Geschlecht haben. Nun kommt Person 1 zurüuck. Da die Personen 1, 2 und n +1 das gleiche Geschlecht haben, folgt sofort die Behauptung. Wo steckt der Fehler in diesem
Beweis einer offensichtlich falschen Behauptung?"
(Quelle: Übungsblatt Nr.1 einer Vorlesung der Uni-Osnabrück, Lineare Algebra
URL: http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/lehre/linalg00/uebung.html#blaetter)
Mein versuch wäre jetzt folgendermaßen:
Man hat bei dem Induktionsschritt einen Fehler gemacht. Und zwar ist es bei "Person n + 1 kommt zurück, und Person 1 verläßt den Raum" nicht möglich die Induktionsvoraussetzung anzuwenden("Wiederum können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden"), da es nicht die selben n Personen sind für die Vorausgesetzt wurde, dass diese das selbe Geschlecht haben. Somit kann es nicht stimmen.
Was haltet ihr von dieser Argumentation..? Ich bin mir nämlich nicht sicher..
viele liebe grüße
BoomBoom
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Hallo!
Du hast recht: Der Fehler liegt im Induktionsschritt. Allerdings kann man die Induktionsvoraussetzung durchaus auf die $n$ im Raum verbleibenden Personen anwenden.
Das Problem liegt danach, nämlich beim Zusammensetzen der Behauptung: Die Personen 1 bis n haben das gleiche Geschlecht und die Personen 2 bis n+1 haben das gleiche Geschlecht. Was aber, wenn diese beiden Mengen keine Schnittmenge haben?
Und genau das ist der Fall für n=1, bzw. für 2 Personen:
Bleibt die erste Person im Raum, haben alle im Raum das gleiche Geschlecht. Tauschen sie Platz, stimmt's auch noch. Aber wenn die erste Person ein Mann ist und die zweite eine Frau, stimmt die Behauptung nicht.
Ich hoffe, dass ich es einigermaßen ordentlich erklärt habe.
Diese Aufgabe ist ziemlich bekannt. Viele Analysis-Profs bringen dieses Beispiel in einer der ersten Stunden ihres Analysis 1-Zykluses um darauf aufmerksam zu machen, wie gut man beim beweisen aufpassen muss und wie leicht man in eine Falle stolpern kann.
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Fr 15.04.2005 | | Autor: | BoomBoom |
Hallo banachella..
jetzt habe ich es verstanden.. danke für deine schnelle Antwort und noch nen schönen tag
liebe grüße
Boom Boom
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