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Induktion: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 So 21.12.2008
Autor: chrissi2709

Aufgabe
u0:=1, v0:= 2;
un+1:= [mm] \wurzel{un*vn} [/mm]    (1)
vn+1:= (un+vn)/2             (1)
a) mithilfe Induktion [mm] u0\le [/mm] un<un+1<vn+1<vn [mm] \le [/mm] v0;
b) aus (1) zeigen, dass vn, un gleichen limes haben
c) N herleiten, sodass |un - l| [mm] \le [/mm] 1/1000 für alle [mm] n\ge [/mm] N
d) Mit einer Rechenaschine eine Näherung von l mit Präzision 1/1000 angeben.

für a) habe ich
I.A. n = 1;
u0 [mm] \le [/mm] u1                 v0 [mm] \ge [/mm] vn
1 [mm] \le \wurzel{u0*v0} [/mm]                2 [mm] \ge [/mm] (u0 + v0)/2
1 [mm] \le \wurzel{2} [/mm]                    2 [mm] \ge [/mm]  3/2
I.S.
n->n+1
un < un+1                               vn > vn+1
un< [mm] \wurzel{un*vn} [/mm]                             vn > (un+vn)/2
un² < vn*un                          2vn > un + vn
=> un<vn                               => vn > un

bei b) weiß ich nich wie ich den Limes aus der Wurzel finde
c) und d) versteh ich die Aufgabenstellung nicht;

Kann mir da jemand helfen?

Vielen Dank schon mal in voraus

Chrissi

        
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Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 So 21.12.2008
Autor: leduart

Hallo
In a hast du bewiesen, dass beide Folgen beschränkt  und monoton sind [mm] u_n [/mm] steigend, [mm] v_n [/mm] fallend. Also haben sie einen GW. für die GW u und v gilt [mm] u_{n+1}=u_n=u [/mm] entsprechend für [mm] v_n [/mm]
dann kannst du einfach einsetzen und ausrechnen.
c) wenn eine Folge konv. dann gibt es ein [mm] N(\epsilon) [/mm] sodass [mm] |u_n-u|<\epsilon [/mm]  und hier ist das spezielle [mm] \epsilon=1/1000. [/mm]
d) mit einem Programm u bzw v so genau bestimmen.
(wenn N nicht sehr gross ist auch mit TR.
Gruss leduart

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Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 So 21.12.2008
Autor: chrissi2709

wenn gilt [mm] u_{n+1}= u_{n}= [/mm] u (entsprechend v)
gilt dann [mm] u=\wurzel{u*v} [/mm]     v=(u+v)/2
=> u=v                   => u=v
=> gleicher Limes?



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Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 So 21.12.2008
Autor: angela.h.b.


> wenn gilt [mm]u_{n+1}= u_{n}=[/mm] u (entsprechend v)
>  gilt dann [mm]u=\wurzel{u*v}[/mm]     v=(u+v)/2
>  => u=v                   => u=v

>  => gleicher Limes?

Hallo,

Du meinst es richtig. Schreib's mal gescheit auf.

Es ist natürlich nicht [mm] u_{n+1}= u_{n}=[/mm] [/mm] u , sondern???

Gruß v. Angela




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Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 So 21.12.2008
Autor: chrissi2709

hab ich dann [mm] u_{n+1}= u_{n} [/mm] = lim u? (entsprechend v)
=>lim u = lim v wenn ich einsetz;
oder lieg ich jetz da total daneben;



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Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 So 21.12.2008
Autor: angela.h.b.


> hab ich dann [mm]u_{n+1}= u_{n}[/mm] = lim u?

Das hier ist der absolute Quatsch.

Wenn der Grenzwert der Folge [mm] (u_n) [/mm] ist, gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}u_n=\limes_{n\rightarrow\infty}u_{n+1}=u [/mm]

> (entsprechend v)
>  =>lim u = lim v wenn ich einsetz;
>  oder lieg ich jetz da total daneben;

Das stimmt dann.

Gruß v. Angela


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Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 So 21.12.2008
Autor: chrissi2709

d) mit einem Programm u bzw v so genau bestimmen.
  (wenn N nicht sehr gross ist auch mit TR.
was genau meinst du damit?

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Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 So 21.12.2008
Autor: leduart

Hallo
Du rechnest 10 Schritte mit dem TR oder 1000 mit Excel
Gruss leduart

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Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:51 So 21.12.2008
Autor: chrissi2709

aber was wäre denn in dem Fall u? Ich weiß immer noch nich was ich da rechnen soll;

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Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:36 Mo 22.12.2008
Autor: reverend

Nachdem Du das geforderte N bestimmt hast, sollst Du eben noch [mm] u_N [/mm] bestimmen. Wie leduart schon schreibt, wenn N ziemlich klein ist, wird ein Taschenrechner reichen. Wenn nicht, brauchst Du ein Programm (oder eben eine Tabellenkalkulation wie Excel).

Grüße,
rev

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Induktion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:35 So 21.12.2008
Autor: chrissi2709

[mm] v_{n} [/mm] - [mm] u_{n} \le 2^{-n}; [/mm]
durch induktion:
I.A. n=0
[mm] v_{0} -u_{0} \le 2^{0} [/mm]
[mm] 2-1\le [/mm] 1
[mm] 1\le [/mm] 1

I.S.
[mm] v_{n+1} [/mm] - [mm] u_{n+1} \le 2^{-(n+1)} [/mm]
[mm] (u_{n}+v_{n})/2 [/mm] - [mm] \wurzel{u_{n}*v_{n}}\le 2^{-n-1} [/mm]
[mm] u_{n} [/mm] + [mm] v_{n}- 2*\wurzel{u_{n}*v_{n}}\le 2^{-n} [/mm]
und jetz weiß ich nich mehr weiter



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Induktion: was rechnest Du?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:45 So 21.12.2008
Autor: Loddar

Hallo chrissi!


Was rechnest Du denn da? Das verstehe ich nicht, was das bezwecken soll bzw. wohin das führen soll ... [kopfkratz3]

Um den Nachweis mit dem Grenzwert zu führen, musst Du
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}u_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}u_n [/mm] \ = \ u$$
[mm] $$\wurzel{u*v} [/mm] \ = \ u$$
nach $u \ = \ ...$ auflösen.

Genauso dann:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}v_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}v_n [/mm] \ = \ v$$
[mm] $$\bruch{u+v}{2} [/mm] \ = \ u$$

Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 So 21.12.2008
Autor: chrissi2709

Das is nich zum Limes;
is eigtl ne neue Aufgabe aber ne teilaufgabe aus dem ganzen

Bezug
                                
Bezug
Induktion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:13 So 21.12.2008
Autor: chrissi2709

Ich bin am ende einer Induktion; und jetz weiß ich nich wie ich aus dem Ausdruck  eine Schlussfolgerung ziehen soll;

Bezug
                                        
Bezug
Induktion: Aufgabe?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 So 21.12.2008
Autor: Loddar

Hallo chrissi!


Warum verrätst Du uns nicht erst einmal die dazugehörige (Teil-)Aufgabe?


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:42 So 21.12.2008
Autor: chrissi2709

Das habe ich ja vorher gerade gemacht;
das war die Aufgabe wo du mir des mit dem Limes geantwortet hast;


Mithilfe Induktion:
[mm] v_{n} [/mm] - [mm] u_{n} \le 2^{-n} [/mm]
I.A. klar;
I.S.
n->n+1
[mm] v_{n+1} [/mm] - [mm] u_{n+1} \le 2^{-(n+1)} [/mm]
nach umrechnung:
[mm] v_{n} [/mm] + [mm] u_{n} -2\wurzel{v_{n}*u_{n}} \le 2^{-n} [/mm]
und ab da weiß ich nicht mehr weiter

Bezug
                                                
Bezug
Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:49 So 21.12.2008
Autor: chrissi2709

Das habe ich ja vorher gerade gemacht;
das war die Aufgabe wo du mir des mit dem Limes geantwortet hast;

Mithilfe Induktion:
[mm] v_{n} [/mm] - [mm] u_{n} \le 2^{-n} [/mm]
I.A. klar;
I.S.
n->n+1
[mm] v_{n+1} [/mm] - [mm] u_{n+1} \le 2^{-(n+1)} [/mm]
[mm] (u_{n} [/mm] + [mm] v_{n})/2 [/mm] - [mm] \wurzel{v_{n}*u_{n}} \le 2^{-(n+1)} [/mm]
nach umrechnung:
[mm] v_{n} [/mm] + [mm] u_{n} -2\wurzel{v_{n}*u_{n}} \le 2^{-n} [/mm]
und ab da weiß ich nicht mehr weiter

Bezug
                                                        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:31 Mo 22.12.2008
Autor: reverend

Ich weiß zwar auch nicht, welchen Zweck diese Teilaufgabe verfolgt, aber den Induktionsschritt kann ich Dir weiterführen:

> Mithilfe Induktion:
>  [mm]v_{n}[/mm] - [mm]u_{n} \le 2^{-n}[/mm]
>  I.A. klar;
>  I.S.
>  n->n+1
>  [mm]v_{n+1}[/mm] - [mm]u_{n+1} \le 2^{-(n+1)}[/mm]
>  [mm](u_{n}[/mm] + [mm]v_{n})/2[/mm] -
> [mm]\wurzel{v_{n}*u_{n}} \le 2^{-(n+1)}[/mm]
>  nach umrechnung:
>  [mm]v_{n}[/mm] + [mm]u_{n} -2\wurzel{v_{n}*u_{n}} \le 2^{-n}[/mm]
>  und ab da
> weiß ich nicht mehr weiter

[mm] v_{n}+u_{n}-2\wurzel{v_{n}*u_{n}}=(\wurzel{v_n}-\wurzel{u_n})^2\le 2^{-n} [/mm]

Wenn Du hier schon [mm] v_n\ge u_n [/mm] voraussetzen darfst (darfst Du?), dann kannst Du weiter umformen:

[mm] \wurzel{v_n}-\wurzel{u_n}\le 2^{-\bruch{n}{2}} [/mm]

[mm] \wurzel{v_n}\le 2^{-\bruch{n}{2}}+\wurzel{u_n} [/mm]

Wieder eine Einschränkung: sind beide Seiten positiv?

[mm] v_n\le (\wurzel{u_n}+2^{-\bruch{n}{2}})^2=u_n+2*2^{-\bruch{n}{2}}\wurzel{u_n}+2^{-n} [/mm]

[mm] v_n-u_n\le 2*2^{-\bruch{n}{2}}\wurzel{u_n}+2^{-n} [/mm]

Das wäre nun zu zeigen. Sicher erfüllt ist (laut Induktionsannahme) die Ungleichung dann, wenn

[mm] 2*2^{-\bruch{n}{2}}\wurzel{u_n}+2^{-n}\ge 2^{-n}, [/mm] weil dann ja

[mm] v_n-u_n\le 2^{-n}\le 2*2^{-\bruch{n}{2}}\wurzel{u_n}+2^{-n} [/mm] wäre.

Das aber ist leicht zu zeigen (musst Du aber noch machen...)
Induktionsschritt fertig.
Achte aber auf die Einschränkungen bzw. evtl. nötigen Fallunterscheidungen!

lg,
reverend

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