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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Seien [mm] $D_1:=4$ [/mm] und [mm] $D_2:=15$. [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] $D_{n+1}:=4\cdot D_{n}-D_{n-1}$
[/mm]
für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] größer Null ist.
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Hallo an alle,
hat jemand eine Idee, wie ich an die obige Aufgabe rangehe? Hier im Forum wurde mir der Ratschlag gegeben, zunächst die Hilfsaussage
[mm] $4^{n-1}\,\leqslant\,D_n\,\leqslant\,4^{n}\quad\forall\,n\in\IN$
[/mm]
zu zeigen. Doch irgendwie glaube ich nicht, dass diese Aussage gilt, da im Induktionsschluss die bestmögliche Abschätzung
[mm] $D_{n+1}=4D_n-D_{n-1}\geqslant 4\cdot 4^{n-1}-4^{n-1}=4^n(1-\frac{1}{4})$
[/mm]
nicht reicht, um die Induktionsbehauptung zu zeigen.
Gruß
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> die bestmögliche
> Abschätzung
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> [mm]D_{n+1}=4D_n-D_{n-1}\geqslant 4\cdot 4^{n-1}-4^{n-1}=4^n(1-\frac{1}{4})[/mm]
Hallo,
aber das ist doch größer als Null.
EDIT: ich glaube, Du spricht über ein anderes Problem als über das, was ich im Auge hatte.
Gruß v. Angela
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> Seien [mm]D_1:=4[/mm] und [mm]D_2:=15[/mm]. Zeigen Sie, dass
>
> [mm]D_{n+1}:=4\cdot D_{n}-D_{n-1}[/mm]
>
> für jedes [mm]n\in\IN[/mm] größer Null ist.
>
> Hallo an alle,
>
> hat jemand eine Idee, wie ich an die obige Aufgabe rangehe?
Warum nicht einfach zeigen, dass für alle $n$ gilt [mm] $D_{n+1}>D_n>0$? [/mm]
Jedenfalls gilt [mm] $D_{1+1}=15>D_1=4>0$ [/mm] (Induktionsverankerung).
Für den Schluss von [mm] $D_{n+1}>D_n$ [/mm] auf [mm] $D_{(n+1)+1}>D_{n+1}$ [/mm] hat man einfach [mm] $D_{(n+1)+1}=4D_{n+1}-D_n\geq 3D_{n+1}>D_{n+1}>0$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Denny22 |
Danke, das sieht gut aus
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> Seien [mm]D_1:=4[/mm] und [mm]D_2:=15[/mm]. Zeigen Sie, dass
>
> [mm]D_{n+1}:=4\cdot D_{n}-D_{n-1}[/mm]
>
> für jedes [mm]n\in\IN[/mm] größer Null ist.
die
> Hilfsaussage
>
> [mm]4^{n-1}\,\leqslant\,D_n\,\leqslant\,4^{n}\quad\forall\,n\in\IN[/mm]
>
> zu zeigen. Doch irgendwie glaube ich nicht, dass diese
> Aussage gilt,
>
Hallo,
auch wenn Du sie nicht unbedingt brauchst: die Aussage gilt.
> [mm][mm] D_{n+1}=4D_n-D_{n-1}=15D_{n-1}-4D_{n-2} [/mm] und dies dann nach unten abschätzen.
Gruß v. Angela
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