Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k}=0 [/mm] für alle n [mm] \in\IN [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Leider habe ich keinerlei Lösungsansatz finden können vieleicht durch Induktion?
Bin dankbar für jede Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo TUDarmstadt!
Man kann hier auch mit vollständiger Induktion vorgehen. Eleganter und schneller geht es aber über den ![[]](/images/popup.gif) binomischen Lehrsatz:
[mm] $$(a+b)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*a^{n-k}*b^k$$
[/mm]
Setze hier ein: $a \ := \ 1$ sowie $b \ := \ -1$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
$ [mm] (a+b)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}a^{n-k}\cdot{}b^k [/mm] $
hier bei wurde jetzt um [mm] (a+b)^n [/mm] erweitert?
$ [mm] (1+(-1))^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}1^{n-k}\cdot{}-1^k [/mm] $
Wozu kann mich der Schritt führen?
|
|
|
| |
|
> [mm](a+b)^n \ = \ \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}a^{n-k}\cdot{}b^k[/mm]
>
> hier bei wurde jetzt um [mm](a+b)^n[/mm] erweitert?
>
> [mm](1+(-1))^n \ = \ \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}1^{n-k}\cdot{}-1^k[/mm]
>
> Wozu kann mich der Schritt führen?
Hallo,
zum Ergebnis! Es steht doch schon da!!!
[mm] (1+(-1))^n =0^n=0
[/mm]
und [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}1^{n-k}\cdot{}-1^k=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}(-1)^k.
[/mm]
Was willst du mehr?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die Unterstützung!
|
|
|
|
