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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Di 16.10.2007 | | Autor: | Isaac |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k² = (n(n+1) * (2n+1)) / 6 |
Hi!
Dieses Thema habe ich erst seit kurzem kennengelernt... :(
Ähnelt diese Aufgabe dieser hier von Wikipedia (??) siehe hier Link: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
Nun zu meiner Aufgabe:
Für n+1
Wenn [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k² = (n(n+1) * (2n+1)) / 6 , so ist [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k² = (((n+1)(n+2)) * (2(n+1)+1)) / 6
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k² = ( [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k² ) + k²
Wird für k² jetzt (n+1) eingesetzt?
= (n(n+1) * (2n+1)) / 6 + (n+1)²
= (n(n+1) * (2n+1)) / 6 + (6 * (n+1)²) / 6
Geht das soweit überhaupt, denn jetzt habe ich beide Seiten ausgerechnet und einfach zusammengefasst.
Zum Schluss habe ich
= (2n³ + 9n² + 13n + 6) / 6
Was beweist man jetzt damit, bzw. ist meines bestimmt nicht richtig :)
MfG
Isaac
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> Sei n [mm]\in \IN.[/mm] Zeigen Sie, dass
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k² = (n(n+1) * (2n+1)) / 6
> Hi!
>
> Dieses Thema habe ich erst seit kurzem kennengelernt... :(
>
> Ähnelt diese Aufgabe dieser hier von Wikipedia (??)
Hallo,
ja, insofern, als das es sich in beiden Fällen um Induktion handelt und in der Wikipedia-Beispielaufgabe auch eine Summenformel zu beweisen ist.
> Nun zu meiner Aufgabe:
>
> Für n+1
>
> Wenn [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k² = (n(n+1) * (2n+1)) / 6 , so ist
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] k² = (((n+1)(n+2)) * (2(n+1)+1)) / 6
Ja, das will man im Induktionsschluß zeigen.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] k² = ( [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k² ) + k²
So ist es verkehrt aufgeschrieben, obgleich Du das Richtige meinst.
Schreib Dir doch die Summe ausführlich hin, dann kann gar nichts schiefgehen:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}[/mm] k²=1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=(\summe_{k=1}^{n}[/mm] k²)+(n+1)^2,
[/mm]
und nach der Induktionsvoraussetzung [mm] \summe_{k=1}^{n}[/mm] [/mm] k² = (n(n+1) * (2n+1)) / 6 ist das
> = (n(n+1) * (2n+1)) / 6 + (n+1)²
>
> = (n(n+1) * (2n+1)) / 6 + (6 * (n+1)²) / 6
>
> Geht das soweit überhaupt, denn jetzt habe ich beide Seiten
> ausgerechnet und einfach zusammengefasst.
Bis hierher ist allses richtig.
>
> Zum Schluss habe ich
>
> = (2n³ + 9n² + 13n + 6) / 6
>
> Was beweist man jetzt damit, bzw. ist meines bestimmt nicht
> richtig :)
Es ist ganz richtig, was Du ausgerechnet hast.
Nun besinne Dich auf Dein Ziel: Du wolltest doch zeigen, daß [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k² = (((n+1)(n+2)) * (2(n+1)+1))/6 [mm] =\bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} [/mm] ist.
Nun schau doch einfach nach, ob (2n³ + 9n² + 13n + 6) / [mm] 6=\bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} [/mm] stimmt! (Es stimmt.)
Damit bist Du dann fertig.
Tip: wenn Du das Ziel im Auge behältst, kannst Du es Dir etwas leichter machen, indem Du an dieser Stelle
> = (n(n+1) * (2n+1)) / 6 + (6 * (n+1)²) / 6
die Klammern gar nicht auflöst, sondern zuerst die (n+1), die Du fürs Ergebnis ja benötist, ausklammerst, und dann bis zum Ende rechnest:
> = (n(n+1) * (2n+1)) / 6 + (6 * (n+1)²) / 6
[mm] =\bruch{(n+1)}{6}(n(2n+1)+6(n+1))=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Di 16.10.2007 | | Autor: | Isaac |
Hi!
Danke für deine Antwort!
Dann war ich gar nicht so verkehrt wie ich dachte... :)
MfG
Isaac
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