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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 So 24.10.2004 | | Autor: | Maria23 |
HI
Kann mir mal bitte einer sagen wie ich hier anfangen soll?
Denn mit Induktionen habe ich ja nun gar nix vor!
Mfg
Beweise durch vollständige Induktion: x [mm] \in \IN
[/mm]
1+3+5+...+(2n-1)=n²
und
(1+2+3+...+n)²=1³+2³+...+n³
für ne gute Erklärung wäre ich sehr dankbar!
eure Maria
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 So 24.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallöle Maria!
> Kann mir mal bitte einer sagen wie ich hier anfangen soll?
Das ist wie bei jeder Induktion die Induktionsverankerung. Und die sind hier leicht zu finden, nämlich [mm] $1+3=4=2^2$ [/mm] und [mm] $(1+2)^3=9=1+8=1^3+2^3$.
[/mm]
FÜr die Induktionsschritte setzt du nun (auch dies ist nichts Neues, sondern immer so) voraus, dass deine Behauptung für ein $n$ richtig ist und versuchst bei der Verfizierung der Behauptung für $n+1$ die Richtigkeit der Behauptung für $n$ mit einfließen zu lassen.
Ich mache dir das für deine erste Aufgabe mal vor. Behauptung für $n+1$:
[mm] $1+3+...+2(n+1)-1=\overbrace{1+3+...+2n+1=1+3+...+2n-1}^{=n^2}+2n+1=n^2+2n+1=(n+1)^2$, [/mm] q.e.d.
Schaffst du nun den Induktionsschritt für die zweite Aufgabe selbst?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 So 24.10.2004 | | Autor: | Maria23 |
hmmm
irgendwie verstehe ich nicht, wie du darauf gekommen bist
[mm] \overbrace{1+3+...+2n+1=1+3+...+2n-1}^{=n^2} [/mm] :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 So 24.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Maria!
Oh, es tut mir leid, die Klammer habe ich zu weit gesetzt. Es muss richtig heißen:
$ [mm] \overbrace{1+3+...+2n-1}^{=n^2} [/mm] $
Und dies ist genau die Induktionsverankerung, die Behauptung für $n$, die wir als wahr vorausgesetzt haben. Somit dürfen wir hier einfach [mm] $n^2$ [/mm] einsetzen.
Ist es nun klarer? Tut mir leid für den Fehler.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 24.10.2004 | | Autor: | Maria23 |
DU kannst du mir die zeile bitte nochmal genau erläutern ?
ich komm da irgendwie nicht klar wie du von dem ein auf das andere kommst!
wäre echt nett
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 So 24.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Maria!
Bei jeder Aufgabe, die du mit vollständiger Induktion lösen möchtest, musst du erst einmal eine Induktionsverankerung suchen. Diese findest du, indem du für die Veränderliche, meistens ist dies ja $n$ (wie hier auch) einen Wert einsetzt und nachrechnest, ob die Behauptung für dieses $n$ stimmt. Das können wir hier auch machen. Wir setzen $n=1$ und erhalten somit die Gleichung [mm] $1=1^2$ [/mm] (das ist nicht so shcön zu sehen. wäre $n=2$, dann hieße es: [mm] $1+3=2^2$). [/mm] Dann wissen wir also, dass die Behauptung für dieses $n$ korrekt ist. Diesen ersten Schritt nennt man die Induktionsverankerung.
Was nun folgt ist der sog. Induktionsschritt. Man nimmt an, dass die Behauptung für $n$ gilt und will nun prüfen, ob daraus folgt, dass sie auch für $n+1$ gelten muss. Ist dem nämlcih so, dann folgt aus $n$ die Gültigkeit für $n+1$, als $n+1$ die Gültigkeit für $n+2$ usw., d.h. die Behauptung gilt für alle folgenden $n$. Dazu schreibt man die Behauptung für $n+1$ auf. Dies machen wir auch mal.
[mm] $1+3+...+2(n+1)-1=(n+1)^2$
[/mm]
Diese Gleichung soll gelten. Wir wissen zudem aus der Induktionsverankerung, dass die Behauptung für $n$ korrekt ist, dass also gilt: [mm] $1+3+...+2n-1=n^2$. [/mm] Diese Erkenntnis muss nun in die Gleichung für $n+1$ eingebracht werden. Das lässt sich in diesem Falle recht gut machen, denn:
$1+3+...+2(n+1)-1=1+3+...+2n+1=1+3+...+2n-1+2n+1$
So, und nun schauen wir uns die Gleichung an und sehen, dass in ihr der Term $1+3+...+2n-1$ vorkommt. Von ihm wissen wir aber laut Induktionsverankerung, dass er gleich [mm] $n^2$ [/mm] ist. Dies können wir also einsetzen und erhalten: [mm] $=n^2+2n+1$. [/mm] Es gilt also nur noch die Gleichung
[mm] $n^2+2n+1=(n+1)^2$ [/mm]
zu beweisen, was aber shcon direkt aus der ersten binomischen Formel folgt. Somit ist die Behauptung auch für $n+1$ korrekt, was wir zeigen wollten.
Ist es dir nun ein wenig mehr klar, wie die Induktion funktioniert?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 24.10.2004 | | Autor: | Maria23 |
hi!
ersmal danke für deine mühe hast was gut bei mir!
hast das auch alles super erklärt habe es sogar verstanden
nur ein frage noch:
=1+3+...+2(n+1)-1 ist klar
=1+3+...+2n+1 ist auch klar
=1+3+...+2n-1+2n+1 wie bist du denn da drauf gekommen?
aus:
1+3+...+2(n+1)-1=1+3+...+2n+1=1+3+...+2n-1+2n+1
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 So 24.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Maria!
Ich habe lediglich das vorletzte Glied der Summe mit aufgeschrieben, was ich vorher nicht getan hatte. Ich hatte "1+3+...2(n+1)-1" geschrieben, um zu verdeutlichen, dass jede ungerade Zahl gemeint ist. Und um zu verdeutlichen, dass der Term "1+3+...2n-1" in dieser Summe enthalten ist, habe ich das vorletzte Glied, nämlich 2n-1, zur Verdeutlichung ausgeschrieben, also mein "1+3+...+2n-1+2n+1" die gleiche Summe wie "1+3+...+2n+1".
Ist es nun klarer?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 So 24.10.2004 | | Autor: | Maria23 |
ahhh jetzt leutet es ein
man man ich steh heute aber wieder auf der leitung
Danke nochmal
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