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Also für euch bestimmt einfach, aber für mich total schwer ;)
Aufgabe : Zeigen Sie, dass
[mm] \summe_{i=1}^{k}=1/k(k+1)=n/n+1 [/mm] ist
so aber wie?
per also ich würde zuerst einmal für n und k 1 einsetzen
und am schluss habe ich dann auf beide seite 0,5=0,5 stehen..
und nun kommt der schluss auf n+1 oder so.. aber das bekomme ich überhaupt nicht hin mir fehlt der ansatz bzw. wie das aussehen sollte? das ja rechts ne summe ist und die man wohl immer wieder dazu addiert... hoffe ihr könnt mir da mal helfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mi 13.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi Lucky_real
sehr schön, dass du den formeleditor benutzt.
es ist dir aber wahrscheinlich ein tip-fehler unterlaufen. du möchtest wohl zeigen, dass:
$ [mm] \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \frac{n}{n+1} [/mm] $. das ende der summierung soll also wohl $n$ und nicht $k$ sein (wenn du sehen willst, wie man brüche erzeugen kann klicke einfach auf die formel, dann wird der quelltext angezeigt).
den induktionsanfang hast du schon richtig beschrieben: auf beiden seiten $n=1$ einsetzen und sehen, dass dann eine wahre aussage da steht.
zum induktionsschritt:
voraussetzung: sei [m] \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1} [/m]
zu zeigen (einfach überall $n$ durch $n+1$ ersetzen): [m] \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n+1}{(n+1) + 1} [/m]
also fangen wir mal mit der linken seite der gleichung an und formen diese um in dem wir das letzte summenglied gesondert schreiben:
[m] \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} [/m]
der wert der vorderen summe ist nun aber nach induktionsvoraussetzung bekannt, das kan man nun einsetzen:
[m] = \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} [/m]
auf den hauptnenner bringen
[m] = \frac{n^2 + 2n + 1}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2} [/m]
und das ist genau die rechte seite in der gleichung die man zeigen wollte.
damit ist man dann auch schon fertig.
so funktionieren häufig induktionen mit summen: einfach das $n+1$-glied gesondert schreiben und für die ersten $n$-glieder das aus der induktionsvorausstzung bekannt einsetzen und dann wieder zusammenfassen.
wenn noch etwas unklar ist, frage einfach nochmal nach.
grüße
andreas
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JO vielen dank, das ging ja schnell..
und jetzt habe ich es auch kapiert und du hast genau richtig geantowtrte vielen dank.. mein prob war das ich auch k+1 setzten wollte immer. aber die idee die induktionsvorraustzung wieder einzusetzen und danach mit n+1 da fehlt mir die zünden idee... so da habe ich noch ne frage... bzw vom verständnis
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{2}{k(k+1)}= \bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
So nun meine Frage ich habe ja oben bei den summenzeichen unendlich... nun bedeutet nur das für n undendliche viele eingesetz werden'? wo ist der unterschied ich n oder unendlich über das summenzeichen habe?
das ist mir nun nicht ganz klor...
ich würde jetzt eigentlich genau die schritte machen, wie du es gemacht hattest.. habe aber den üblen nachgeschmack das ist nicht richtig wegen den unendlich zeichen...?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Mir ist völlig unklar, was jetzt deine Frage ist.
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{2}{k(k+1)}= \bruch{n+1}{n+2}[/mm]
Bisher kam nirgendswo ein "Unendlich-Zeichen" vor. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Die Gleichung kann ja wohl kaum richtig sein, oder wo siehst du auf der linken Seite ein $n$?
Was wir gezeigt hatten, war:
[mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}= \bruch{n}{n+1}[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Daraus folgt nun:
[mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{2}{k(k+1)}= 2 \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left[ \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} \right] = 2 \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left[ \frac{n}{n+1} \right] = 2[/mm] .
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:41 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Lucky_real |
Ok vielleicht habe ich die Frage nun schlecht gestellt...
diese aufgabe
also die allerste frage hast du ja beantwortet bzw das posting.. wo
mit der aufgabe zeigen Sie, daas.....
nund hatte ich noch eine b aufgabe mit
und die leutet Benutzen die das Ergebnis von a) also diese geschichte mit
bruch{n+1}{n+2}
um
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{2}{k(k+1)}= \bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
zu bestimmen?
wie was ist nun da gemeint ich bin mir da echt nicht sicher gewesen oder bin es immer noch nicht ;) was jetzt da von mir verlangt wird? den limes zu errechnen oder wie?
p.s. finde ich klasse das du immer so schnell antwortest
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Hallo,
> nund hatte ich noch eine b aufgabe mit
> und die leutet Benutzen die das Ergebnis von a) also diese
> geschichte mit
> bruch{n+1}{n+2}
> um
>
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{2}{k(k+1)}= \bruch{n+1}{n+2}[/mm]
>
> zu bestimmen?
Ich glaube nicht, dass das deine Aufgabe ist, denn wie Stefan schon sagte, ist diese Gleichung falsch.
Hast du dir die rechte Seite dieser Gleichung selbst ausgedacht oder ist das wirklich wörtlich die Aufgabenstellung?
Sinnvoll wäre dagegen folgende Aufgabenstellung:
Benutzen Sie das Ergebnis von a), um
[mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{2}{k(k+1)}[/mm]
zu bestimmen!
Denn da hast du dann was zu bestimmen: Nämlich den Wert der unendlichen Summe.
> wie was ist nun da gemeint ich bin mir da echt nicht sicher
> gewesen oder bin es immer noch nicht ;) was jetzt da von
> mir verlangt wird? den limes zu errechnen oder wie?
Diese unendliche Summe ist eine Kurzschreibweise für den Grenzwert
[mm]\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{2}{k(k+1)}[/mm]
Und den hat Stefan bereits bestimmt.
Wenn dir an seiner Antwort nun immer noch etwas unklar ist, schreib wieder.
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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