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Hallo ihr Lieben!
Ich hatte die Tage schonmal mit leduart diskutiert über die vollständige Induktion.
Er hatte mir die Aufgabe auch vorgerechnet, ich habe sie nun nach dem Schema versucht wie wir sie in der Uni gelöst haben.
Schaut ihr mal drüber?
Danke :0)
1*3 +2*5 + ....+ n*(2n+1) = [mm] \bruch{n(n+1) (4n+5)}{6}
[/mm]
Induktionsanfang für n = 1
Ich erhlate 3=3, somit alles in Ordnung.
Meine I´nduktionsannahme ist ja:
1*3 + 2*5 + ....+n(2n+1) = [mm] \bruch{n(n+1) (4n+5)}{6}
[/mm]
Nun mein Induktionsschluss für n+1:
1*3 +2*5+...+n(2n+1) +(n+1) (2n+3) = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)(4n+9)}{6}
[/mm]
Meinen ersten Teil kann ich durch die Annahme ersetzen, dann erhalte ich:
[mm] \bruch{n(n+1)(4n+5)}{6} [/mm] +(n+1)(2n+3) = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)(4n+9)}{6}
[/mm]
Mein Ziel müsste es ja nun sein, die linke Seite so umzuformen dass ich die rechte Seite, Sprich
[mm] \bruch{n(n+1)(n+2)(4n+9)}{6} [/mm] erhalte.
Doch das gelingt mir hier nicht.
Ist meine Vorgehensweise bis hierher richtig?
Danke!
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Hallo!
> 1*3 +2*5 + ....+ n*(2n+1) = [mm]\bruch{n(n+1) (4n+5)}{6}[/mm]
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> Induktionsanfang für n = 1
> Ich erhlate 3=3, somit alles in Ordnung.
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> Meine I´nduktionsannahme ist ja:
>
> 1*3 + 2*5 + ....+n(2n+1) = [mm]\bruch{n(n+1) (4n+5)}{6}[/mm]
>
> Nun mein Induktionsschluss für n+1:
>
> 1*3 +2*5+...+n(2n+1) +(n+1) (2n+3) =
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)(4n+9)}{6}[/mm]
>
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> Meinen ersten Teil kann ich durch die Annahme ersetzen,
> dann erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{n(n+1)(4n+5)}{6}[/mm] +(n+1)(2n+3) =
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)(4n+9)}{6}[/mm]
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> Mein Ziel müsste es ja nun sein, die linke Seite so
> umzuformen dass ich die rechte Seite, Sprich
>
> [mm]\bruch{n(n+1)(n+2)(4n+9)}{6}[/mm] erhalte.
> Doch das gelingt mir hier nicht.
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> Ist meine Vorgehensweise bis hierher richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Alles richtig soweit, und der Rest ist eigentlich nur noch ein bisschen Bruchrechnen und zusammenfassen. Als erstes würde ich (n+1)(2n+3) mit 6 erweitern, dann hast du einen einzelnen Bruch. Und dann kannst du entweder direkt alle Klammern ausmultiplizieren und siehst, dass dann links und rechts das Gleiche steht. Oder du klammerst vorher noch (n+1) aus, dann bleibt in der Klammer nur noch stehen (also im Zähler des Bruches): (6(2n+3)+n(4n+5)). Da du auf der rechten Seite der Gleichung ja auch (n+1) stehen hast, reicht es nun, noch den rechten Teil auszuklammern, und da komme ich sowohl links als auch rechts auf: [mm] 4n^2+17n+18. [/mm] 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Danke für die Hilfe, schau bitte noch mal drüber ob ichs richtig verstanden bzw. umgesetzt habe:
[mm] \bruch{n(n+1)(4n+5)}{6} [/mm] + [mm] \bruch{6(n+1)(2n+3)}{6}
[/mm]
(n+1) [mm] \bruch{6(2n+3) + n(4n+5)}{6}
[/mm]
(n+1) [mm] \bruch{12n+18+4n^{2} +5n}{6} [/mm] = (n+1) [mm] \bruch{ 4n^{2} +17n +18}{6}
[/mm]
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Hallo!
Ich weiß zwar nicht, was es da noch drüberzugucken gibt, aber genau so habe ich es auch auf meinem Schmierzettel stehen.
Viele Grüße
Bastiane
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