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Zu zeigen: [mm] $\forall n\in\mathbb{N}_0$ [/mm] gilt [mm] $\sum_{k=0}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
[/mm]
[mm] \underline{Induktionsanfang}
[/mm]
$n=0$
[mm] $\sum_{k=0}^{0}k^2=0=\frac{1}{6}\cdot [/mm] 0$
[mm] \underline{Induktionsvoraussetzung}
[/mm]
Für ein $n=j$ gilt [mm] $\sum_{k=0}^{j}k^2=\frac{1}{6}j(j+1)(2j+1)$.
[/mm]
[mm] \underline{Induktionsbehauptung}
[/mm]
Für $n=j+1$ gilt [mm] $\sum_{k=0}^{j+1}k^2=\frac{1}{6}(j+1)(j+2)(2j+3)$.
[/mm]
[mm] \underline{Induktionsschritt}
[/mm]
Sei $n=j+1$
Es ist [mm] $\sum_{k=0}^{j+1}k^2=(\sum_{k=0}^{j}k^2)+\sum_{k=j+1}^{j+1}k^2$.
[/mm]
Induktionsannahme einsetzen und die rechte Summe ausschreiben
[mm] $\frac{1}{6}j(j+1)(2j+1)+(j+1)^2$
[/mm]
Und nun versuchen wir die Gleichung zu zeigen:
[mm] $\frac{1}{6}j(j+1)(2j+1)+(j+1)^2=\frac{1}{6}(j+1)(j+2)(2j+3)$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{6}(j^2+j)(2j+1)+j^2+2j+1=\frac{1}{6}(j^2+3j+2)(2j+3)$
[/mm]
[mm] $2j^3+j^2+2j^2+j+6j^2+12j+6=2j^3+6j^2+4j+3j^2+9j+6$
[/mm]
[mm] $2j^3+9j^2+13j+6=2j^3+9j^2+13j+6$
[/mm]
q.e.d.
Gibt es einen besseren Weg als dies auszumultiplizieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Fr 11.11.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst ja - wie du schon korrekt geschrieben hast - auf [mm] \frac{1}{6}\cdot(j+1)\cdot(j+2)\cdot(2j+3) [/mm] kommen und hast [mm] $\frac{1}{6}\cdot j\cdot(j+1)\cdot(2j+1)+(j+1)^{2}$
[/mm]
Ich würde zuerst einmal ausklammern
[mm] $\frac{1}{6}\cdot j\cdot(j+1)\cdot(2j+1)+(j+1)^{2}$
[/mm]
[mm] $=\cdot(j+1)\cdot\left[\frac{1}{6}\cdot j\cdot(2j+1)+(j+1)\right]$
[/mm]
Nun musst du nur noch die eckige Klammer ausrechnen.
[mm] $=\cdot(j+1)\cdot\left[\frac{1}{6}\cdot(2j^{2}+j)+(j+1)\right]$
[/mm]
[mm] $=\cdot(j+1)\cdot\left[\frac{1}{6}\cdot(2j^{2}+j)+\frac{1}{6}(6j+6)\right]$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{6}\cdot(j+1)\cdot\left[(2j^{2}+j)+(6j+6)\right]$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{6}\cdot(j+1)\cdot\left[(2j^{2}+7j+6)\right]$
[/mm]
Die letzte Faktorisierung ist dann auch schnell gemacht
Marius
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Hallo Marius
Ist es auch erlaubt durch (j+1) zu teilen auf beiden Seiten?
Dann steht (nach multiplikation mit 6) da:
$j(2j+1)+6j+6=(j+2)(2j+3)$
Gäbe es hier noch einen Kniff mit dem man sich das asumultiplizieren schenken kann?
Einer der tatsächlich auch Arbeit spart natürlich ;)
Gruß
Jan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Fr 11.11.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Jan
> Hallo Marius
>
> Ist es auch erlaubt durch (j+1) zu teilen auf beiden
> Seiten?
Das würde ich in einer Gleichungskette vermeiden.
>
> Dann steht (nach multiplikation mit 6) da:
>
> [mm]j(2j+1)+6j+6=(j+2)(2j+3)[/mm]
>
> Gäbe es hier noch einen Kniff mit dem man sich das
> asumultiplizieren schenken kann?
Nicht das ich wüsste
>
> Einer der tatsächlich auch Arbeit spart natürlich ;)
>
> Gruß
> Jan
Marius
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