Indukt. kleiner/gleich Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] (|a1*b1|+....+|an*bn|)^2 \le [/mm] (kleiner/gleich) [mm] (a1^2+....+an^2)*(b1^2+.....+bn^2)
[/mm]
|
Hallo!
Habe einige Probleme bei der Aufgabe!
Habe versucht sie durch Induktion zu lösen, wobei ich aber schon beim Induktionsanfang stecken bleibe, da ich dann auf der linken Seite [mm] (a1*b1)^2 [/mm] und auf der rechten [mm] (a1)^2*(b1)^2 [/mm] dastehen habe.
Letztendlich habe ich dann auch einfach probiert die linke seite ein bisschen auszumultiplizieren und durch geschicktes Abschätzen auf die rechte Seite zu gelangen.
Leider ist mir das auch nicht wirklich gelungen!
Hat einer eine Idee, wie ich die Aufgabe angehen kann?
Vielen dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Mo 10.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm](|a1*b1|+....+|an*bn|)^2 \le[/mm] (kleiner/gleich)
> [mm](a1^2+....+an^2)*(b1^2+.....+bn^2)[/mm]
>
> Hallo!
>
> Habe einige Probleme bei der Aufgabe!
> Habe versucht sie durch Induktion zu lösen, wobei ich aber
> schon beim Induktionsanfang stecken bleibe, da ich dann auf
> der linken Seite [mm](a1*b1)^2[/mm] und auf der rechten
> [mm](a1)^2*(b1)^2[/mm] dastehen habe.
Wo ist das Problem ? Es ist [mm] (a_1 b_1)^2 [/mm] = [mm] a_1^2 b_1^2
[/mm]
>
> Letztendlich habe ich dann auch einfach probiert die linke
> seite ein bisschen auszumultiplizieren und durch
> geschicktes Abschätzen auf die rechte Seite zu gelangen.
>
> Leider ist mir das auch nicht wirklich gelungen!
> Hat einer eine Idee, wie ich die Aufgabe angehen kann?
Die Ungleichung, die Du beweisen sollst heißt "Cauchy-Schwarzsche -Ungleichung"
Hilft das ?
FRED
>
> Vielen dank!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Jana555555 |
Ja klar, wie blöd von mir!
Und dann funktioniert der Beweis mit Induktion??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Mo 10.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Wozu habe ich Dir das "Cauchy-Schwarzsche -Ungleichung" genannt ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Mo 10.11.2008 | | Autor: | tau |
Im Grunde sehr einfach, du kannst die Induktionsanfang wie folgt schreiben:
[mm] |a_{1} b_{1}| [/mm] = [mm] \wurzel[2]{a_{1}b_{1}}^{2}
[/mm]
[mm] a^{2}b^{2} [/mm] = (a [mm] b)^{2}
[/mm]
dann noch wurzel ziehen und schon hat man den Anfang!
Induktionschritt ist ebenfalls einfach, schreibe Dir mal alle Ausdruecke als Summe auf und bemerke, fuer jedes [mm] b_{j} [/mm] mit j=1 bis j=n gibt es auf der rechten Seite mehr Glieder als Links. CauchySchwarz ist schoen aber nicht notwendig!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Mo 10.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Im Grunde sehr einfach, du kannst die Induktionsanfang wie
> folgt schreiben:
>
> [mm]|a_{1} b_{1}|[/mm] = [mm]\wurzel[2]{a_{1}b_{1}}^{2}[/mm]
> [mm]a^{2}b^{2}[/mm] = (a [mm]b)^{2}[/mm]
>
> dann noch wurzel ziehen und schon hat man den Anfang!
>
> Induktionschritt ist ebenfalls einfach, schreibe Dir mal
> alle Ausdruecke als Summe auf und bemerke, fuer jedes [mm]b_{j}[/mm]
> mit j=1 bis j=n gibt es auf der rechten Seite mehr Glieder
> als Links. CauchySchwarz ist schoen aber nicht notwendig!
Ich habe auch nicht gesagt, dass Cauchy-Schwarz notwendig ist !!!!!
Ich habe nur gesagt, dass die Ungleichung so heißt.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Jana555555 |
Vielen Dank schon mal!
Soweit habe ichs verstanden!! Nur warum gibt es auf der rechten Seite mehr bj als auf der Linken!
Das versteh ich nicht so ganz und kanns auch mit meiner Rechnung nicht nachvollziehen.
|
|
|
|
