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| Aufgabe | Sei n∈N. Berechnen Sie (d.h. das Ergebnis soll keine Summenzeichen mehr enthalten):
b)
[mm] \summe_{n=1}^{10}\summe_{v=1}^{n}\summe_{u=1}^{v}\bruch{1}{n-u+1} [/mm] |
Hallo,
Ich bin neu hier und kenne mich noch nich so aus, deshalb seid nicht zu hart ;)
Nun zur eigentlichen Frage:
Ich hab hier die Lösung zu dieser Aufgabe, jedoch verstehe ich nicht wie man darauf kommt.Ich verstehe nicht so ganz was überhaupt gemacht wird und wie der Index verschoben wird...hoffe ihr könnt mir weiterhelfen...
[mm] \summe_{n=1}^{10}\summe_{v=1}^{n}\summe_{u=1}^{v}\bruch{1}{n-u+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{10}\summe_{u=1}^{n}\summe_{v=1}^{n}\bruch{1}{n-u+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{10}\summe_{u=1}^{n}\bruch{1}{n-u+1}\summe_{v=u}^{n} [/mm] 1 = [mm] \summe_{n=1}^{10}\summe_{u=1}^{n} [/mm] 1 = [mm] \bruch{10*11}{2} [/mm] = 55
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei n∈N. Berechnen Sie (d.h. das Ergebnis soll keine
> Summenzeichen mehr enthalten):
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> b)
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> [mm]\summe_{n=1}^{10}\summe_{v=1}^{n}\summe_{u=1}^{v}\bruch{1}{n-u+1}[/mm]
> Hallo,
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> Ich bin neu hier und kenne mich noch nich so aus, deshalb
> seid nicht zu hart ;)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast fast alles richtig gemacht, achte bloß nächstes Mal darauf, daß Dein Beitrag im richtigen Forum landet, im Unibereich und nicht im Schulbereich - Du bekommst dann normalerweise auch schneller Antwort, weil es die richtigen Leute lesen.
> Nun zur eigentlichen Frage:
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> Ich hab hier die Lösung zu dieser Aufgabe, jedoch verstehe
> ich nicht wie man darauf kommt.Ich verstehe nicht so ganz
> was überhaupt gemacht wird und wie der Index verschoben
> wird...hoffe ihr könnt mir weiterhelfen...
Laß uns zunächst [mm] \summe_{v=u}^n1 [/mm] besprechen.
Es wäre ja [mm] \summe_{v=u}^na_i=a_u+a_{u+1}+a_{u+2}+...+a_n.
[/mm]
Das sind n-u+1 Summanden. Zähl es nach bzw. teste es auch an Zahlen, etwa n=10 und u=7.
Und was bedeutet nun [mm] \summe_{v=u}^n1? [/mm] Du mußt (n-u+1)-mal die zahl 1 addieren. Also ist [mm] \summe_{v=u}^n1=n-u+1.
[/mm]
> [mm]\summe_{n=1}^{10}\summe_{v=1}^{n}\summe_{u=1}^{v}\bruch{1}{n-u+1}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{n=1}^{10}\summe_{u=1}^{n}\summe_{v=1}^{n}\bruch{1}{n-u+1}[/mm]
Ob Du zuerst von v=1 bis n addierst oder von u=1 bis n ist egal.
Man darf die Reihenfolge vertauschen. Die wurde hier getan aus einem Grund, den Du gleich sehen wirst.
> [mm] $\summe_{n=1}^{10}\summe_{u=1}^{n}\summe_{v=1}^{n}\bruch{1}{n-u+1}$ [/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{10}\summe_{u=1}^{n}\bruch{1}{n-u+1}\summe_{v=u}^{n}[/mm] 1
In [mm] \summe_{v=1}^{n}\bruch{1}{n-u+1}$ [/mm] kommt der Summationsindex v ja gar nicht vor. Deshalb ist in dieser Summe [mm] \bruch{1}{n-u+1}=\bruch{1}{n-u+1}*1 [/mm] eine Konstante, es kann also [mm] \bruch{1}{n-u+1}vor [/mm] das Summenzeichen gezogen werden.
Man bekommt, wenn man unsere Vorüberlegung einsetzt,
[mm] $\summe_{n=1}^{10}\summe_{u=1}^{n}\bruch{1}{n-u+1}\summe_{v=u}^{n}$ [/mm] 1 [mm] =$\summe_{n=1}^{10}\summe_{u=1}^{n}\bruch{1}{n-u+1}(n-u+1)$
[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{10}\summe_{u=1}^{n}[/mm] 1 =
Mit der gleichen Überlegung wie oben ergibt sich [mm] \summe{u=1}^n1=n,
[/mm]
also hat man
[mm] $\summe_{n=1}^{10}\summe_{u=1}^{n}$ 1=$\summe_{n=1}^{10}n$.
[/mm]
Die Summenformel hierfür wurde in der Vorlesung per Induktion gezeigt (kleiner Gauß):
[mm] \summe_{n=1}^{10}n=\bruch{10*(10+1)}{2}=55.
[/mm]
Gruß v. Angela
> [mm]\bruch{10*11}{2}[/mm]
> = 55
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Vielen Dank für die Hilfe hat mir sehr geholfen.Da ich jedoch nicht so sicher im Umgang mit Summen bin versteh ich einige Kleinigkeiten noch nicht ;)
[mm] \summe_{u=1}^{v} [/mm] = [mm] \summe_{u=1}^{n} [/mm] kann man das einfach so umschreiben oder muss dazu etwas bestimmtes gelten?
und dasselbe hier
[mm] \summe_{v=u}^{n} [/mm] ist das so definiert? ist das eine bestimmte Umformung?
die nächste Frage kommt ins richtige Forum...;)
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> [mm]\summe_{u=1}^{v}[/mm] = [mm]\summe_{u=1}^{n}[/mm] kann man das einfach
> so umschreiben oder muss dazu etwas bestimmtes gelten?
Nein, das geht natürlich nicht. Es würde nur stimmen,
falls z.B. die zusätzlichen Summanden in der zweiten
Summe alle gleich 0 wären. Der Term
$ [mm] \summe_{n=1}^{10}\summe_{u=1}^{n}\summe_{v=1}^{n}\bruch{1}{n-u+1} [/mm] $
in der dir vorliegenden Gleichungskette ist also falsch.
> und dasselbe hier
> [mm]\summe_{v=u}^{n}[/mm] ist das so definiert? ist das eine
> bestimmte Umformung?
Man kann
$ [mm] \summe_{v=1}^{n}\summe_{u=1}^{v}\bruch{1}{n-u+1} [/mm] $
umformen zu
$ [mm] \summe_{u=1}^{n}\summe_{v=u}^{n}\bruch{1}{n-u+1} [/mm] $
Das machst du dir am besten klar, indem du dir in der
u-v-Ebene jene Zahlenpaare (u,v) markierst, welche
nach den beiden Vorgehensweisen in den Summen
benützt werden.
LG Al-Chw.
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