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Index: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 So 13.12.2009
Autor: kuemmelsche

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich grad mit dem Index einer Untergruppe $H$ über einer Gruppe $G$.

Als Def. hatten wir: $|G~:~H|=|G~/~H|=|H ~ [mm] \backslash [/mm] ~G|$ mit $H [mm] \le [/mm] G$ Untergruppe.

Ist aber $G~/~H$ eig. nur dann sinnvoll wenn $H$ normal in $G$ ist? Ober wird das stillschweigend vorausgesetzt?

Danke!

lg Kai



        
Bezug
Index: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:01 Mo 14.12.2009
Autor: felixf

Hallo Kai!

> ich beschäftige mich grad mit dem Index einer Untergruppe
> [mm]H[/mm] über einer Gruppe [mm]G[/mm].
>  
> Als Def. hatten wir: [mm]|G~:~H|=|G~/~H|=|H ~ \backslash ~G|[/mm]
> mit [mm]H \le G[/mm] Untergruppe.
>  
> Ist aber [mm]G~/~H[/mm] eig. nur dann sinnvoll wenn [mm]H[/mm] normal in [mm]G[/mm]
> ist? Ober wird das stillschweigend vorausgesetzt?

Mit $G / H$ ist nicht die Quotientengruppe gemeint (die macht nur dann Sinn, wenn $H$ normal in $G$ ist), sondern die Menge der Rechtsnebenklassen von $G$ bzgl. $H$ (ebenso wie $H [mm] \backslash [/mm] G$ die Menge der Linksnebenklassen ist). Und diese Zahl gibt es immer, wenn $H$ eine Untergruppe ist. (Falls $H$ ein Normalteiler ist, dann ist alles eh das gleiche.)

LG Felix


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