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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mi 28.10.2009 | | Autor: | muesmues |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jede Untergruppe H einer endlichen Gruppe G vom Index [G : H] = 2 normal in G ist. |
Also ich habe folgendes schon gesammelt:
[G:H]=[G]/[H] = 2
Linksnebenklasse gH = {gh:h [mm] \in [/mm] H}
Die Linksnebenklassen sind ja das gleiche wie [G:H]. Also müssten wir ja zwei linksnebenklassen haben oder?
nomal heißt doch ghg^(-1) [mm] \in [/mm] H oder hier in G ?
So nun weiß ich nicht mehr weiter. kann mir jemand helfen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
> Zeigen Sie, dass jede Untergruppe H einer endlichen Gruppe
> G vom Index [G : H] = 2 normal in G ist.
> Also ich habe folgendes schon gesammelt:
>
> [G:H]=[G]/[H] = 2
> Linksnebenklasse gH = {gh:h [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
H}
> Die Linksnebenklassen sind ja das gleiche wie [G:H]. Also
> müssten wir ja zwei linksnebenklassen haben oder?
Genau.
> nomal heißt doch ghg^(-1) [mm]\in[/mm] H oder hier in G ?
Ja.
> So nun weiß ich nicht mehr weiter. kann mir jemand
> helfen?
Du musst zeigen, dass fuer jedes $g [mm] \in [/mm] G$ gilt $g H [mm] g^{-1} [/mm] = H$, oder anders: $g H = H g$.
Wenn $g [mm] \in [/mm] H$ ist, dann ist $g H = H = H g$. Sei also $g [mm] \not\in [/mm] H$. Dann ist $g H [mm] \neq [/mm] H [mm] \neq [/mm] H g$. Zeige nun $g H = G [mm] \setminus [/mm] H = H g$ (dies folgt aus $[G : H] = 2$).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mi 28.10.2009 | | Autor: | muesmues |
" Sei also $ g [mm] \not\in [/mm] H $. Dann ist $ g H [mm] \neq [/mm] H [mm] \neq [/mm] H g $. Zeige nun $ g H = G [mm] \setminus [/mm] H = H g $ (dies folgt aus [G : H] = 2). "
dass gH = [G]/[H] ist weiß man ja, da [G:H] = gh (Linksnebenklasse).
Man muss nun zeigen dann,dass [G]/[H] = hg ist
richtig?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:09 Do 29.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> " Sei also [mm]g \not\in H [/mm]. Dann ist [mm]g H \neq H \neq H g [/mm].
> Zeige nun [mm]g H = G \setminus H = H g[/mm] (dies folgt aus [G : H]
> = 2). "
>
> dass gH = [G]/[H] ist weiß man ja, da [G:H] = gh
Was soll $[G]/[H]$ sein?! Und was ist $h$ (du meinst $H$, nicht?)? Und wieso sollte $[G : H]$ ein Gruppenelement sein?
> (Linksnebenklasse).
>
> Man muss nun zeigen dann,dass [G]/[H] = hg ist
>
> richtig?
Nein.
Du weisst:
1) Es gibt genau zwei Linksnebenklassen
2) Je zwei Linksnebenklassen sind disjunkt
3) Die Vereinigung ueber alle Linksnebenklassen ist die ganze Gruppe $G$
4) Du kannst in 1) bis 3) Linksnebenklassen durch Rechtsnebenklassen ersetzen, es gilt dann genauso
Anhand dessen solltest du jetzt $g H$ und $H g$ beschreiben koennen, naemlich als $G [mm] \setminus [/mm] H$ (falls $g [mm] \not\in [/mm] H$).
LG Felix
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