Impulserhaltungsatz < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 So 15.05.2005 | | Autor: | Ares1982 |
diese frage wurde in keinem forum gestellt!
Hi @ all,
ich komme bei einer Aufgabe nicht richtig weiter. Ich stell sie euch mal vor:
Auf einer reibungsfreien waagerechten Unterlage befinden sich 3 gleich große Kugeln unterschiedlicher Masse auf einer Schien hintereinander. Die Kugeln der Masse [mm] m_{1} [/mm] stößt, ohne zu rollen, mit der Geschwindigkeit [mm] v_{1} [/mm] elastisch und zentral auf die zunächst ruhende Kugel mit [mm] m_{2} [/mm] und diese dann mit [mm] v_{2} [/mm] wiederum elastisch auf die ruhende Kugel [mm] m_{3}. [/mm] Wie groß ist [mm] v_{2} [/mm] nach dem Stoß? Wie muss [mm] m_{2} [/mm] gewählt werden, damit der von [mm] m_{1} [/mm] auf [mm] m_{3} [/mm] übertragene Impuls maximal wird?
Hier gilt zunächst der Impulssatz: [mm] m_{1} [/mm] * [mm] v_{1}= m_{1} *v_{1}`+ m_{2}* m_{2}* v_{2}`. [/mm] Nun ich habe mir gedacht, dass bei stoß ohne rollen, der ganze Impuls von kugel 1 auf kugel 2 übertragen wird, dh. das die Geschwindigkeit [mm] v_{1}`=0 [/mm] ist. da kann ich die Geschwindigkeit von kugel 2 ausrechen, aber ich weiß nicht, wie man [mm] m_{2} [/mm] wählt, da habe ich keinen Ansatz gefunden. >Ich hoffe, ihr könnt mir da helfen. Ich danke im vorraus. Bis denn!!!!!!!!
Ares
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 So 15.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> diese frage wurde in keinem forum gestellt!
>
> Hi @ all,
> ich komme bei einer Aufgabe nicht richtig weiter. Ich
> stell sie euch mal vor:
>
> Auf einer reibungsfreien waagerechten Unterlage befinden
> sich 3 gleich große Kugeln unterschiedlicher Masse auf
> einer Schien hintereinander. Die Kugeln der Masse [mm]m_{1}[/mm]
> stößt, ohne zu rollen, mit der Geschwindigkeit [mm]v_{1}[/mm]
> elastisch und zentral auf die zunächst ruhende Kugel mit
> [mm]m_{2}[/mm] und diese dann mit [mm]v_{2}[/mm] wiederum elastisch auf die
> ruhende Kugel [mm]m_{3}.[/mm] Wie groß ist [mm]v_{2}[/mm] nach dem Stoß?
> Wie muss [mm]m_{2}[/mm] gewählt werden, damit der von [mm]m_{1}[/mm] auf
> [mm]m_{3}[/mm] übertragene Impuls maximal wird?
>
> Hier gilt zunächst der Impulssatz: [mm]m_{1}[/mm] * [mm]v_{1}= m_{1} *v_{1}'+ m_{2}* m_{2}* v_{2}'.[/mm]
> Nun ich habe mir gedacht, dass bei stoß ohne rollen, der
> ganze Impuls von kugel 1 auf kugel 2 übertragen wird, dh.
> das die Geschwindigkeit [mm]v_{1}'=0[/mm] ist. da kann ich die
> Geschwindigkeit von kugel 2 ausrechen, aber ich weiß nicht,
> wie man [mm]m_{2}[/mm] wählt, da habe ich keinen Ansatz gefunden.
> >Ich hoffe, ihr könnt mir da helfen. Ich danke im vorraus.
> Bis denn!!!!!!!!
>
> Ares
Hallo Ares,
es handelt sich ja um einen vollkommen elastischen Stoß, demnach
muss sowohl der Impulserhaltungssatz als auch der Energieerhaltungssatz
auf den Stoß zutreffen.
Der Impulserhaltungssatz lautet für [mm] $m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$:
[/mm]
[mm] $m_1*v_1+m_2*v_2=m_1*v_1'+m_2+v_2'$
[/mm]
und der Energieerhaltungssatz:
[mm] $\frac{m_1*v_1^2}{2}+\frac{m_2*v_2^2}{2}=\frac{m_1*v_1'^2}{2}+\frac{m_2*v_2'^2}{2}$
[/mm]
Nun weißt du außerdem, dass die zweite Kugel ruhte [mm] $\rightarrow v_2=0$
[/mm]
Daraus folgt nun:
[mm] $m_1*v_1=m_1*v_1'+m_2*v_2'$
[/mm]
und
[mm] $\frac{m_1*v_1^2}{2}=\frac{m_1*v_1'^2+m_2*v_2'^2}{2}$
[/mm]
Formst du jetzt noch weiter um, so erhältst du folgende Gleichungen:
[mm] $v_1' [/mm] = [mm] \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \cdot v_1$
[/mm]
und
[mm] $v_2' [/mm] = [mm] \frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1$
[/mm]
Jetzt interessiert uns die erste nicht mehr und wir betrachten lediglich die zweite und dritte Kugel.
Da auch die dritte Kugel zunächst ruht, können wir schreiben:
[mm] $m_2*v_2'=m_2*v_2''+m_3*v_3'$
[/mm]
und
[mm] $\frac{m_2*v_2'}{2}=\frac{m_2*v_2''+m_3*v_3'}{2}$
[/mm]
Wir können die oben erhaltenen Gleichungen ja schon fröhlich einsetzen:
[mm] $m_2*\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1=m_2*v_2''+m_3*v_3'$
[/mm]
und
[mm] $\frac{m_1*v_1^2}{2}+\frac{m_2*v_2^2}{2}=\frac{m_1*v_1'^2}{2}+\frac{m_2*(\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1)^2}{2}$
[/mm]
Nun ist die Frage, wie groß [mm] $m_1$ [/mm] sein muss, damit [mm] $m_3*v_3'$ [/mm] maximal wird.
Deswegen sollten wir ein paar Umformungen vornehmen:
[mm] $m_2*\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1=m_2*v_2''+m_3*v_3'$
[/mm]
[mm] $\rightarrow m_3*v_3'=m_2*\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1-m_2*v_2''$
[/mm]
Es stört uns jetzt nur noch das [mm] $v_2''$, [/mm] deshalb sollten wir versuchen es anders darzustellen.
Analog zu $ [mm] v_1' [/mm] = [mm] \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \cdot v_1 [/mm] $ gilt natürlich auch:
$ [mm] v_2'' [/mm] = [mm] \frac{m_2 - m_3}{m_2 + m_3} \cdot v_2' [/mm] $
Setzen wir das nun in [mm] $m_3\cdot{}v_3'=m_2\cdot{}\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1-m_2\cdot{}v_2'' [/mm] $ ein, soerhalten wir:
[mm] $m_3\cdot{}v_3'=m_2\cdot{}\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1-m_2\cdot{}\frac{m_2 - m_3}{m_2 + m_3} \cdot v_2' [/mm] $
und nun setzen wir für [mm] $v_2'$ [/mm] noch $ [mm] v_2' [/mm] = [mm] \frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1 [/mm] $ ein:
[mm] $m_3\cdot{}v_3'=m_2\cdot{}\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1-m_2\cdot{}\frac{m_2 - m_3}{m_2 + m_3} \cdot \frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1 [/mm] $
Von hier an solltest du selber weiterkommen, versuche bitte meine Vorgehensweise nachzuvollziehen und überprüfe die einzelnen Schritte,
vielleicht habe ich ja irgendwo einen kleinen Fehler "versteckt"  .
Liebe Grüße
Fugre
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 So 15.05.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Ares und Fugre
Bei der zweiten Frage , wie groß [mm] m_{1} [/mm] sein muß , kann man doch folgendes ausnutzen:
Beim zentral elastischen Zusammenstoß von zwei gleich schweren Körpern tauschen die beiden Körper ihre Geschwindigkeiten aus!
Dann folgt:
[mm] m_{1}=m_{2} [/mm]
weil nur so die gesamte Bewegungsenergie von [mm] m_{1} [/mm] auf [mm] m_{2} [/mm] übertragen wird.
Das kann natürlich jetzt auch falsch sein. Deswegen ist das hier auch mehr eine Frage als eine Antwort!
Gruß Fabian
|
|
|
|
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Wikipedia