Implizite Lösung von DGL'en < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Do 29.10.2015 | | Autor: | Samyy |
Hallo,
oft stösst man beim Lösungsversuch von DGL auf so genannte implizite Lösungen, die leider nicht immer als explizite Lösung geschrieben werden können. Zum Beispiel erhält man bei der DGL: [mm] $y'=\frac{y\sin(x)}{1+2y^2}$ [/mm] die implizite Lösung: [mm] $\ln(\vert y\vert)+y^2=-\cos(x)+C.$
[/mm]
Ich frage mich, warum eine implizite Lösung wünschenswert ist?! Liegt das eventuell daran, dass man die Lösungskurven für die letzte Gleichung numerisch besser bestimmen kann als bei der zunächst gegebenen DGL? Bzw. leigt es daran, dass Computerprogramme die graphen für die Lösungskurven der Gleichung besser bestimmen können als für die DGL und man dadurch das qualitative Verhalten der Lösungen besser erkennt?
Vielleicht hat es ja noch weitere oder ganz andere Gründe, warum eine implizite Lösung erstrebenswert ist.... Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
Lieben Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Do 29.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Eine Antwort: lässt sich eine DGL nicht explitit lösen, aber implizit, so ist mir eine implizit gegebene Lösung lieber, als gar keine.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Do 29.10.2015 | | Autor: | Samyy |
Gut! Würdest du mir bitte genauer erläutern, warum dir die implizite Lösung i.A. lieber ist? Natürlich kann es passieren, dass die implizite Lösung vieles über die Lösung aussagt, wie zum Beispiel bei einer einfachen Gleichung der Art [mm] $x^2+y^2=1.$ [/mm] Aber so hübsch sehen die impliziten Lösungen ja nicht immer aus. Was genau ist also der Vorteil frage ich mich?
Viele Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Do 29.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gut! Würdest du mir bitte genauer erläutern, warum dir
> die implizite Lösung i.A. lieber ist?
Du solltest mich korrekt zitieren. Ich habe gesagt:
eine implizit gegebene Lösung ist mir lieber als gar keine.
Explizite Lösungen sind mir natürlich am liebsten. Aber man hat nun mal nicht immer explizite Lösungen.
FRED
> Natürlich kann es
> passieren, dass die implizite Lösung vieles über die
> Lösung aussagt, wie zum Beispiel bei einer einfachen
> Gleichung der Art [mm]x^2+y^2=1.[/mm] Aber so hübsch sehen die
> impliziten Lösungen ja nicht immer aus. Was genau ist also
> der Vorteil frage ich mich?
>
> Viele Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Do 29.10.2015 | | Autor: | Samyy |
Hallo fred97,
ich habe mich nicht klar genug ausgedrückt, entschuldige bitte. Ich wollte dir nicht unterstellen, dass dir implizite Lösungen lieber sind als explizite Lösungen. (Das kam mir eigentlich gar nicht in den Sinn)
Soweit ich dich jedoch verstanden habe, sind dir implizite Lösungen i.A. lieber als gar keine Lösung zu haben. Darum sollte die implizite Lösung doch einen "Mehrwert" liefern, d.h. einen Erkenntnisgewinn bzgl. der existierenden Lösungen etc.. Zumal das integrieren der DGL doch in der Regel recht aufwendig ist, frage ich mich ernsthaft was genau durch eine implizite Lösung gewonnen wird.
Viele Gruesse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Do 29.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
>
> ich habe mich nicht klar genug ausgedrückt, entschuldige
> bitte. Ich wollte dir nicht unterstellen, dass dir
> implizite Lösungen lieber sind als explizite Lösungen.
> (Das kam mir eigentlich gar nicht in den Sinn)
> Soweit ich dich jedoch verstanden habe, sind dir implizite
> Lösungen i.A. lieber als gar keine Lösung zu haben.
So ist es.
> Darum
> sollte die implizite Lösung doch einen "Mehrwert" liefern,
> d.h. einen Erkenntnisgewinn bzgl. der existierenden
> Lösungen etc.. Zumal das integrieren der DGL doch in der
> Regel recht aufwendig ist, frage ich mich ernsthaft was
> genau durch eine implizite Lösung gewonnen wird.
Nehmen wir z.B. die DGL Deiner Eingangfrage. Eine Lösung ist
(*) $ [mm] \ln(\vert y\vert)+y^2=-\cos(x). [/mm] $
Man kann dieser impliziten Darstellung z.B. entnehmen, dass y die Werte $e$ und $-e$ nicht annehmen kann (warum). Der DGL sieht man das nicht an.
Etwas allgemeiner: Der Wertebereich der Lösung y muss im Intervall [-1,1] liegen. Siehst Du das der DGL an ? Ich nicht. Wenn ich auf (*) schaue, so sehe ich das. Du auch ?
Wenn man sich ein wenig anstrengt ( tu das mal), so kann man der Darstellung (*) eine ganze Menge Informationen über die Lösung y entlocken.
FRED
>
> Viele Gruesse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Do 29.10.2015 | | Autor: | Samyy |
Danke, diese Antwort hat mir weitergeholfen!
Viele Gruesse
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Hallo,
Wünschenswert ist eine implizite Lösung kaum - dh: jeder hat lieber eine explizite Lösung vorliegen!
In manchen Fällen, wie Fred bereits bemerkt hat, findet man so eine aber nicht - also bist du auch mit einer Gleichung zufrieden, welche deine gesuchte Funktion enthält .... - Vorteile hat eine implizite Lösung in dem Sinn gar keine... es ist eben, wie auch hier Fred bereits bemerkt hat, besser als nichts.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Do 29.10.2015 | | Autor: | Samyy |
Hallo Thomas_Aut,
vielen Dank fuer deine Antwort. Was genau meinst du mit:
"Vorteile hat eine implizite Lösung in dem Sinn gar keine...es ist eben (...) besser als nichts." ?
Meinst du damit, dass eine implizite Lösung keine Vorteile gegenüber expliziten Lösungen hat? Oder doch etwas anderes?
Weiterhin schreibst du, dass eine implizite Lösung besser sei als nichts. Was macht eine implizite Lösung i.A. "besser als nichts"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Sa 31.10.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo,
> Hallo Thomas_Aut,
>
> vielen Dank fuer deine Antwort. Was genau meinst du mit:
>
> "Vorteile hat eine implizite Lösung in dem Sinn gar
> keine...es ist eben (...) besser als nichts." ?
>
> Meinst du damit, dass eine implizite Lösung keine Vorteile
> gegenüber expliziten Lösungen hat? Oder doch etwas
> anderes?
Wenn du eine explizite Lösung hast ist das immer die beste Situation - hast du eine implizite Lösung, so ist es immer noch besser als GAR KEINE LÖSUNG ZU HABEN !!! Auch aus der impliziten Lösung kannst du einiges an INfos gewinnen...
> Weiterhin schreibst du, dass eine implizite Lösung besser
> sei als nichts. Was macht eine implizite Lösung i.A.
> "besser als nichts"?
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