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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Sa 06.12.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Graphen der folgenden impliziten "Funktion":
[mm] x^4+y^3=x^3+y^2 [/mm] |
Hallo!
Ich komme hier nicht weiter...
Hatte mehrere Ansätze mit denen ich aber nicht richtig umzugehen weis:
einmal:
[mm] x^4-x^3=y^2-y^3
[/mm]
x*(x*(x*(x-1)))=y*(y*(1-y))
Linke und rechte Seite sind Null, wenn x=0 und y=0;x=0 und y=1; x=1 und y=0; x=1 und y=1...
Aber dann habe ich ja nur 4 Punkte...
Könnte auch noch auf Polarkoordinaten transformieren:
[mm] r^4*cos^4(\phi)+r^3*sin^3(\phi)=r^3*cos^3(\phi)+r^2*sin^2(\phi)
[/mm]
geteilt durch [mm] r^2
[/mm]
Fall 1 [mm] r\not=0
[/mm]
[mm] r^2*cos^4(\phi)+r*sin^3(\phi)-r*cos^3(\phi)-sin^2(\phi)=0
[/mm]
Fall 1.a [mm] cos^4(\phi)\not=0
[/mm]
[mm] r^2+r*(\bruch{sin^3(\phi)-cos^3(\phi)}{cos^4(\phi)})-\bruch{sin^2(\phi)}{cos^4(\phi)}=0
[/mm]
[mm] r=-\bruch{sin^3(\phi)-cos^3(\phi)}{2*cos^4(\phi)}\pm\sqrt{\left(\bruch{sin^3(\phi)-cos^3(\phi)}{2*cos^4(\phi)}\right)^2+\bruch{sin^2(\phi)}{cos^4(\phi)}}
[/mm]
Fall 1.b [mm] cos^4(\phi)=0 [/mm] bzw [mm] \phi=\bruch{\pi}{2}+k*\pi
[/mm]
[mm] 0+r*\underbrace{sin^3(\bruch{\pi}{2}+k*\pi
)}_{=\pm1}-0-\underbrace{sin^2(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)}_{=1}=0
[/mm]
[mm] sin^3(\phi)=-1 [/mm] für [mm] \phi=-\bruch{\pi}{2}+k*2\pi
[/mm]
r*-1+r*1=0 also r=1, r=-1 oder r=0 für [mm] -\bruch{\pi}{2}+k*2\pi
[/mm]
[mm] sin^3(\phi)=1 [/mm] für [mm] \phi=\bruch{\pi}{2}+k*2\pi
[/mm]
r*1+r*1=0 also r=0 für [mm] \phi=\bruch{\pi}{2}+k*2\pi
[/mm]
Fall 2: r=0
0=0
Habe die Vermutung, dass das ganze auch einfacher gehen könnte, vor allem find ich die Funktion die nach der p/q-Formel rauskommt auch nicht gerade schick, obwohl man dann ja "nur" eine Wertetabelle mit verschiedenen Winkeln machen müsste.
Also hat irgendwer eine Idee? 
Danke und Gruß,
tedd
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> Bestimmen Sie den Graphen der folgenden impliziten
> "Funktion":
> [mm]x^4+y^3=x^3+y^2[/mm]
>
> [mm]x^4-x^3=y^2-y^3[/mm]
> x*(x*(x*(x-1)))=y*(y*(1-y))
>
> Linke und rechte Seite sind Null, wenn x=0 und y=0;x=0 und
> y=1; x=1 und y=0; x=1 und y=1...
>
> Aber dann habe ich ja nur 4 Punkte...
Ja, für links=rechts=0 gibt's auch nur die vier. Und wieviele gibt's für links=rechts=a mit [mm] a=\wurzel{2} [/mm] oder [mm] \a{}a=14391,248 [/mm] oder [mm] a=-\bruch{3}{13} [/mm] ?
> Könnte auch noch auf Polarkoordinaten transformieren:
>
Gute Idee.
> Habe die Vermutung, dass das ganze auch einfacher gehen
> könnte, vor allem find ich die Funktion die nach der
> p/q-Formel rauskommt auch nicht gerade schick, obwohl man
> dann ja "nur" eine Wertetabelle mit verschiedenen Winkeln
> machen müsste.
Schon. Deine "nicht gerade schicke" Funktion (wegen des [mm] \pm [/mm] besser aufzuteilen in zwei Funktionen) hat den Vorteil, periodisch zu sein. Du darfst also zwei geschlossene Kurven erwarten.
> Also hat irgendwer eine Idee?
>
> Danke und Gruß,
> tedd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Sa 06.12.2008 | | Autor: | tedd |
Okay wenn es anders nicht (einfacher) geht...
Hab's dann mit Polarkoordinatentransformation und nach r aufgelöst gemacht.
Hatte mich mit dem r bei den Fallunterscheidungen ein klein wenig vertan aber im Grunde ist es so geblieben wie oben.
Danke und Gruß,
tedd
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