Implizite Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mo 22.06.2015 | | Autor: | Sam90 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] f(x,y,z)=z^3+2xy-4xz+2y-1 [/mm] in einer Umgebung von (x,y)=(1,1) durch eine differenzierbare Funktion z=g(x,y) mit g(1,1)=1 implizit definiert ist. Berechnen Sie [mm] \bruch{\partial g}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial g}{\partial y}. [/mm] |
Hallo! Eigentlich habe ich keine Probleme damit, Aufgaben wie diese hier zu lösen, aber irgendwie weiß ich nicht, wie ich anfange soll... Mich macht (x,y)=(1,1) irgendwie stutzig. Wo ist denn das z? Muss ich die Ableitung nach z der Funktion dann auch nach z umstellen und dann für x und y jeweils 1 einsetzen? Irgendwie stehe ich ein wenig auf dem Schlauch, deshalb würde ich mich über Hilfe freuen, wie ich diese Aufgabe angehe :)
LG Sam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:16 Di 23.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass [mm]f(x,y,z)=z^3+2xy-4xz+2y-1[/mm] in einer
> Umgebung von (x,y)=(1,1) durch eine differenzierbare
> Funktion z=g(x,y) mit g(1,1)=1 implizit definiert ist.
Hui,hui ! Kommt Dir obige Formulierung nicht merkwüdig vor ? Lies mal !
Korrekt lautet das wohl so:
Zeigen Sie, dass durch die Gleichung [mm]f(x,y,z)=z^3+2xy-4xz+2y-1=0[/mm] in einer Umgebung U von (x,y)=(1,1) eine differenzierbare
Funktion z=g(x,y) mit
f(x,y,g(x,y)=0 für alle (x,y) [mm] \in [/mm] U und g(1,1)=1
implizit definiert ist.
> Berechnen Sie [mm]\bruch{\partial g}{\partial x}[/mm] und
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial y}.[/mm]
> Hallo! Eigentlich habe ich
> keine Probleme damit, Aufgaben wie diese hier zu lösen,
> aber irgendwie weiß ich nicht, wie ich anfange soll...
> Mich macht (x,y)=(1,1) irgendwie stutzig. Wo ist denn das
> z?
Die Bedingung g(1,1))1 liefert z=1.
> Muss ich die Ableitung nach z der Funktion dann auch
> nach z umstellen und dann für x und y jeweils 1 einsetzen?
> Irgendwie stehe ich ein wenig auf dem Schlauch, deshalb
> würde ich mich über Hilfe freuen, wie ich diese Aufgabe
> angehe :)
Um den Satz über implizit def. Funktionen anzuwenden, musst Du prüfen:
f(1,1,1)=0 und [mm] f_z(1,1,1) \ne [/mm] 0.
FRED
>
> LG Sam
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Di 23.06.2015 | | Autor: | Sam90 |
Also ich habe jetzt folgendes nachgeprüft:
f(1,1,1)=1+2-4+2-1=0
[mm] f_{z}(x,y,z)=3z^2-4x, [/mm] somit [mm] f_{z}(1,1,1)=3-4=-1\not=0
[/mm]
Also alles so, wie es sein soll. Reicht das denn jetzt schon an Beweisen, um sagen zu können, dass z=g(x,y) implizit definiert ist?
Und wie mache ich jetzt weiter mit den Ableitungen? Muss ich da nicht nach z bzw. g(x,y) umstellen und dann einfach einmal nach x und einmal nach y ableiten? Im Skript steht an der Stelle was von Jacobimatrix...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Di 23.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe jetzt folgendes nachgeprüft:
> f(1,1,1)=1+2-4+2-1=0
> [mm]f_{z}(x,y,z)=3z^2-4x,[/mm] somit [mm]f_{z}(1,1,1)=3-4=-1\not=0[/mm]
> Also alles so, wie es sein soll. Reicht das denn jetzt
> schon an Beweisen, um sagen zu können, dass z=g(x,y)
> implizit definiert ist?
Ja
> Und wie mache ich jetzt weiter mit den Ableitungen? Muss
> ich da nicht nach z bzw. g(x,y) umstellen und dann einfach
> einmal nach x und einmal nach y ableiten? Im Skript steht
> an der Stelle was von Jacobimatrix...
Du kannst das so machen:
Es gilt:
(*) $ [mm] g(x,y)^3+2xy-4xg(x,y)+2y-1=0 [/mm] $
für alle (x,y) [mm] \in [/mm] U (U Umgebung von (1,1).
Diferenziere Nun die Glei chung (*) nach x und setze dann (x,y)=(1,1) ein. Dann bekommst Du [mm] g_x(1,1). [/mm] Entsprechend verfährst Du für [mm] g_y(1,1)
[/mm]
FRED
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 23.06.2015 | | Autor: | Sam90 |
Ok dann muss ich ja bei Differenzieren das erste g(x,y) gar nicht beachten oder?
Also ich habe jetzt für [mm] \bruch{\partial g}{\partial x}=2y-4g(x,y) \Rightarrow [/mm] 2-4=-2 und für [mm] \bruch{\partial g}{\partial y}=2x+2 \Rightarrow [/mm] 2+2=4.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Di 23.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Ok dann muss ich ja bei Differenzieren das erste g(x,y) gar
> nicht beachten oder?
> Also ich habe jetzt für [mm]\bruch{\partial g}{\partial x}=2y-4g(x,y) \Rightarrow[/mm]
> 2-4=-2 und für [mm]\bruch{\partial g}{\partial y}=2x+2 \Rightarrow[/mm]
> 2+2=4.
Das sehe ich gerade nicht. Du hast zwar $2xy$ richtig nach $x$ und $4x$ nach $x$ abgeleitet, aber uebersehen, dass $g$ doch auch von $x$ abhaengt....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Di 23.06.2015 | | Autor: | Sam90 |
Also habe ich dann [mm] 3g(x,y)^2+2y-4g'(x,y) [/mm] und [mm] 3g(x,y)^2+2x-4xg'(x,y)+2?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Di 23.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Also habe ich dann [mm]3g(x,y)^2+2y-4g'(x,y)[/mm] und
> [mm]3g(x,y)^2+2x-4xg'(x,y)+2?[/mm]
Nein. Du missachtest die Kettenregel und die Produktregel !
Ableitung nach x:
[mm] 3g(x,y)^2*g_x(x,y)+2y-4g(x,y)-4xg_x(x,y)=0
[/mm]
Ableitung nach y:
[mm] 3g(x,y)^2*g_y(x,y)+2x-4xg_y(x,y)+2=0
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Di 23.06.2015 | | Autor: | Sam90 |
Ok danke! Wenn ich jetzt aber g(1,1)=1 in die Ableitung einsetze, dann bekomme ich doch aber für [mm] g_x [/mm] (1,1)=0 und auch für [mm] g_y [/mm] (1,1)=0 und somit bin ich dann doch wieder bei [mm] g_x [/mm] (1,1,1)=-2 und [mm] g_y(1,1,1)=4 [/mm] oder liege ich schon wieder komplett falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Di 23.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Ok danke! Wenn ich jetzt aber g(1,1)=1 in die Ableitung
> einsetze, dann bekomme ich doch aber für [mm]g_x[/mm] (1,1)=0 und
> auch für [mm]g_y[/mm] (1,1)=0 und somit bin ich dann doch wieder
Wie das? Also wenn ich $g(1,1)=1$ verwende, erhalte ich beispielsweise:
$ [mm] 3g(x,y)^2\cdot{}g_y(x,y)+2x-4xg_y(x,y)+2=0 [/mm]
[mm] 3g_y(1,1)+2-4g_y(1,1)+2=0 [/mm] $
Das kann man nun nach [mm] $g_y(1,1)$ [/mm] umstellen. (Entsprechend fuer [mm] $g_x(1,1)$.
[/mm]
> bei [mm]g_x[/mm] (1,1,1)=-2 und [mm]g_y(1,1,1)=4[/mm] oder liege ich schon
> wieder komplett falsch?
Wieso haben die partiellen Ableitungen denn hier drei Argumente. $g$ haengt doch nur von zwei Veraenderlichen ab???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Di 23.06.2015 | | Autor: | Sam90 |
Dann hab ich das doch aber nur falsch aufgeschrieben, weil die Ergebnisse doch trotzdem gleich bleiben?! Wenn ich deine Angabe nach [mm] g_x(1,1) [/mm] umstelle, dann komme ich doch trotzdem auf mein Ergebnis, warum dann so umständlich? :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 23.06.2015 | | Autor: | Sam90 |
Hat das Einsetzen bzw. Umstellen überhaupt noch was mit meiner Aufgabe zu tun? Da steht ja nur dass ich die Ableitung berechnen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Mi 24.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hat das Einsetzen bzw. Umstellen überhaupt noch was mit
> meiner Aufgabe zu tun? Da steht ja nur dass ich die
> Ableitung berechnen soll.
Ja, und die berechnest Du so:
1. Setze in
$ [mm] 3g(x,y)^2\cdot{}g_x(x,y)+2y-4g(x,y)-4xg_x(x,y)=0 [/mm] $
für (x,y) das Paar (1,1) ein und löse die resultierende Gleichung nach [mm] g_x(1,1) [/mm] auf.
2. Setze in
$ [mm] 3g(x,y)^2\cdot{}g_y(x,y)+2x-4xg_y(x,y)+2=0 [/mm] $
für (x,y) das Paar (1,1) ein und löse die resultierende Gleichung nach [mm] g_y(1,1) [/mm] auf.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Do 25.06.2015 | | Autor: | Sam90 |
Also durch Einsetzen und Umstellen erhalte ich:
[mm] 3g_x(1,1)+2-4-4g_x(1,1)=0 \gdw g_x(1,1)=-2
[/mm]
[mm] 3g_y(1,1)+2-4g_y(1,1)+2=0 \gdw g_y(1,1)=4
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Do 25.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Also durch Einsetzen und Umstellen erhalte ich:
> [mm]3g_x(1,1)+2-4-4g_x(1,1)=0 \gdw g_x(1,1)=-2[/mm]
>
> [mm]3g_y(1,1)+2-4g_y(1,1)+2=0 \gdw g_y(1,1)=4[/mm]
Bingo !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Do 25.06.2015 | | Autor: | Sam90 |
Super! Dann hab ich es ja doch noch verstanden :D Vielen Dank für die Geduld!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Mi 24.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Dann hab ich das doch aber nur falsch aufgeschrieben, weil
> die Ergebnisse doch trotzdem gleich bleiben?! Wenn ich
> deine Angabe nach [mm]g_x(1,1)[/mm] umstelle, dann komme ich doch
> trotzdem auf mein Ergebnis, warum dann so umständlich? :D
Wer hat wann, wo , was umständlich gemacht ????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Di 23.06.2015 | | Autor: | Sam90 |
Also Wolfram Alpha sagt [mm] 3g(x,y)g(x,y)^2-4xg(x,y)-4g(x,y)+2y [/mm] und [mm] (3g(x,y)^2-4x)g(x,y)+2x+2... [/mm] Ähm, kann das richtig sein??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Di 23.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Also Wolfram Alpha sagt [mm]3g(x,y)g(x,y)^2-4xg(x,y)-4g(x,y)+2y[/mm]
> und [mm](3g(x,y)^2-4x)g(x,y)+2x+2...[/mm] Ähm, kann das richtig
> sein??
Siehe die Antwort von FRED.....
Irgendwie scheinen mir in deinem Post die Ableitungen von $g$ zu fehlen.
Ueberhaupt ist es ungeschickt, bei einer Funktion zweier Veraenderlicher $g'$ zu schreiben, aber auch dazu siehe den Post von FRED.
Gruss,
Chris
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