Implizite Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 So 14.10.2007 | | Autor: | Ilias |
| Aufgabe | a) Zeigen sie, dass die gleichung x³ +y²-2xy=0 für (x,y) nahe (1,1) eindeutig nach x auflösen lässt und die so erhaltene Funktion x=g(y) nahe y=1 steitg differenzierbar ist. Berechnen sie g`(1).
b) zeigen sie, dass g nahe y=1 zweimal stetig differenzierbar ist und berechnen sie g´´(1)
c) lässt sich die geleichung nahe (1,1) auch eindeutig nach y auflösen? |
hallo leute...nun ja ich bin folgendermaßen vorgeganen:
a)
ich habe vorerst die obige funktion erstmal nach x und dann nach y abgeleitet
[mm] f_{x}(x,y)=3x²-2y
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y)=2y-2x
[/mm]
ist nun [mm] f_{x}(1,1)\not=0 [/mm] lässt sich die gleichung eindeutig nach x auflösen. da [mm] f_{x}(1,1)=1 [/mm] ist, ist somit die gleichung eindeutig nach x auflösbar.
als nächsten schritt habe ich die zwei obigen ableitungen nach x aufgelöst und bekomme nun folgendes herraus:
[mm] x=\wurzel{2/3} [/mm] und x=y
nun kann ich um g'(y) auszurechnen folgende formel benutzen:
[mm] g'(y)=-\bruch{f_{y}(g(y),y)}{f_{x}(g(y),y)} [/mm] und bekomme beim ensetzen von y=1 für g´(y)=0 herraus.
b)
ich hoffe das ist richtig...nur leider weis ich nicht wie ich weitermachen soll um auf die b) zu kommen. ich weis nur das für g´´(1)=-2 rauskommen muss.
[mm] c)f_{y}(1,1)=0 [/mm] ist hier der satz über imlpizite funktionen nicht anwendbar...die funktion ist nicht eindeutig nach y aufzulösen
ich hoffe ich habe den weg verständlich aufgeführt...
gruß ilias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 So 14.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo ilias!
> b)
> ich hoffe das ist richtig...nur leider weis ich nicht wie
> ich weitermachen soll um auf die b) zu kommen. ich weis nur
> das für g´´(1)=-2 rauskommen muss.
Du hast doch eine Formel für [mm]g'(y)[/mm]:
[mm]g'(y) = - \bruch{f_y(g(y),y))}{f_x(g(y),y))}[/mm].
Die leitest du noch einmal nach y ab (mit Quotienten- und Kettenregel).
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 14.10.2007 | | Autor: | Ilias |
ok...daran hab ich auch schon gedacht...den rest den ich da verbrochen habe ist dann richtig? wenn ja wäre das grandios
gruß ilias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 So 14.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo ilias,
> a) Zeigen sie, dass die gleichung x³ +y²-2xy=0 für (x,y)
> nahe (1,1) eindeutig nach x auflösen lässt und die so
> erhaltene Funktion x=g(y) nahe y=1 steitg differenzierbar
> ist. Berechnen sie g'(1).
> b) zeigen sie, dass g nahe y=1 zweimal stetig
> differenzierbar ist und berechnen sie g´´(1)
> c) lässt sich die geleichung nahe (1,1) auch eindeutig
> nach y auflösen?
> hallo leute...nun ja ich bin folgendermaßen vorgeganen:
>
> a)
> ich habe vorerst die obige funktion erstmal nach x und
> dann nach y abgeleitet
> [mm]f_{x}(x,y)=3x²-2y[/mm]
> [mm]f_{y}(x,y)=2y-2x[/mm]
>
> ist nun [mm]f_{x}(1,1)\not=0[/mm] lässt sich die gleichung eindeutig
> nach x auflösen. da [mm]f_{x}(1,1)=1[/mm] ist, ist somit die
> gleichung eindeutig nach x auflösbar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> als nächsten schritt habe ich die zwei obigen ableitungen
> nach x aufgelöst und bekomme nun folgendes herraus:
> [mm]x=\wurzel{2/3}[/mm] und x=y
Richtig, aber was bringt dir das? Für die weitere Rechnung brauchst du es nicht.
> nun kann ich um g'(y) auszurechnen folgende formel
> benutzen:
> [mm]g'(y)=-\bruch{f_{y}(g(y),y)}{f_{x}(g(y),y)}[/mm] und bekomme
> beim ensetzen von y=1 für g´(y)=0 herraus.
> [mm]c)f_{y}(1,1)=0[/mm] ist hier der satz über imlpizite funktionen
> nicht anwendbar...die funktion ist nicht eindeutig nach y
> aufzulösen
Übrigens gibt dir schon die Tatsache, dass [mm]g'(1)=0[/mm] einen entscheidenden Hinweis: das bedeutet ja, dass die Funktion g bei 1 eine waagrechte Tangente hat, und so eine Funktion lässt sich an dieser Stelle nicht umkehren.
Viele Grüße
Rainer
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