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Implizit ableiten: 2. Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:01 Do 17.01.2013
Autor: Lewser

Aufgabe
Bilden Sie implizit die 2. Ableitung von [mm] y^2-x=0 [/mm]

Mein Ansatz:

[mm] y'=-\bruch{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)} [/mm]

[mm] F_{x}(x,y)=-1 F_{y}(x,y)=2y [/mm]

[mm] \rightarrow y'=\bruch{1}{2y} [/mm]

Aber wenn ich jetzt erneut ableite bekomme ich doch Null heraus. Was habe ich übersehen/ wo habe ich mich verrechnet?

        
Bezug
Implizit ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:09 Do 17.01.2013
Autor: Diophant

Hallo,

deinen Ansatz verstehe ich zwar nicht so ganz, aber die erste Ableitung habe ich genauso wie du.

> Aber wenn ich jetzt erneut ableite bekomme ich doch Null
> heraus. Was habe ich übersehen/ wo habe ich mich
> verrechnet?

Das ist das Problem an dem 'Aufgaben-in Formeln-stopfen', dann hat man zwar ein Strickmuster, aber man weiß nicht genau, was die Formel tut.

Es geht nach wie vor um eine Funktion vom Typ y=f(x). Die unabhängige Variable ist also x und y ist von x abhängig. Daher fällt da beim weiteren Ableiten nichts weg, sondern es muss die Kettenregel (die irgendwie in deinem Formalsimus auch mit drinsteckt) angewendet werden.


Gruß, Diophant


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Implizit ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Do 17.01.2013
Autor: fred97

Ich mach Dir mal die erste Ableitung vor. Wir schreiben etwas genauer

   [mm] y(x)^2-x=0 [/mm]

Jetzt differenzieren wir (Kettenregel !):

   2y(x)*y'(x)-1=0.

Jetzt Du.

FRED

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Implizit ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 Do 17.01.2013
Autor: Lewser

[mm] y'=(2y)^{-1} [/mm]

[mm] y''=2*y'*(-1)*(2y)^{-2} [/mm]

mit y': [mm] y''=-\bruch{2}{2y}*\bruch{1}{4y^2}=-\bruch{1}{4y^3} [/mm]

Ist das korrekt?

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Implizit ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 Do 17.01.2013
Autor: fred97


> [mm]y'=(2y)^{-1}[/mm]
>  
> [mm]y''=2*y'*(-1)*(2y)^{-2}[/mm]
>  
> mit y':
> [mm]y''=-\bruch{2}{2y}*\bruch{1}{4y^2}=-\bruch{1}{4y^3}[/mm]
>  
> Ist das korrekt?

nein. Was hast Du da gerechnet ????

Edit: es ist korrekt

FRED


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Implizit ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Do 17.01.2013
Autor: Lewser

Die erste Ableitung mit der Kettenregel abgeleitet und die erste Ableitung für y' eingesetzt. Dann gekürzt und den Nenner ausmultipliziert.

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Implizit ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Do 17.01.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Die erste Ableitung mit der Kettenregel abgeleitet und die
> erste Ableitung für y' eingesetzt. Dann gekürzt und den
> Nenner ausmultipliziert.

Deine Rechnung und dein Ergebnis sind richtig, die Rechnung ist halt noch ein wenig umständlich. Wenn man die Quotientenregel verwendet, sieht das so aus:

[mm] y''=\bruch{-2y'}{(2y)^2}=-\bruch{y'}{2y^2}=-\bruch{1}{4y^3} [/mm]


Gruß, Diophant



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Implizit ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:09 Do 17.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Diophant,

Das Ganze geht doch nur, wenn $y [mm] \neq [/mm] 0$ ist, sonst kannst du nicht so explizit nach $y'$ auflösen.

Wenn man in der expl. 1. Ableitung, also in $2yy'-1=0$ nochmal explizit ableitet, kommt man auf

[mm] $2[(y')^2+yy'']=0$, [/mm] was für [mm] $y\neq [/mm] 0$ "eurem" Ergebnis entspricht ...


Gruß

schachuzipus


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Implizit ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:29 Do 17.01.2013
Autor: fred97


> Hallo Diophant,
>  
> Das Ganze geht doch nur, wenn [mm]y \neq 0[/mm] ist, sonst kannst du
> nicht so explizit nach [mm]y'[/mm] auflösen.
>  
> Wenn man in der expl. 1. Ableitung, also in [mm]2yy'-1=0[/mm]
> nochmal explizit ableitet, kommt man auf
>  
> [mm]2[(y')^2+yy'']=0[/mm], was für [mm]y\neq 0[/mm] "eurem" Ergebnis
> entspricht ...
>  
>
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  


Hallo schachuzipus,

Aus [mm] y(x)^2=x [/mm] folgt, dass y genau in x=0 eine Nullstell hat.

In x=0 ist y aber nicht differenzierbar, denn anderenfalls hätten wir


(*) $ 2y(x)y'(x)=1 $

auch für x=0, dann wäre aber y(0) [mm] \ne [/mm] 0.

Aus (*) folgt, dass y(x) [mm] \ne [/mm] 0 ist in jedem x indem y differenzierbar ist.

Gruß FRED

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Implizit ableiten: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 10:56 Do 17.01.2013
Autor: Diophant

Hallo FRED,

was hast du für einen Fehler in Lewsers Rechnung entdeckt? Das Ergebnis stimmt und ich kann auch keinen Fehler in der Rechnung entdecken.


Gruß, Diophant

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