Implikation umkehren, negieren < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Do 26.08.2010 | | Autor: | matheo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
kann mir jemand sagen, ob folgendes richtig ist:
Negiere ich die Implikation a [mm] \Rightarrow [/mm] b so erhalte ich a [mm] \wedge \neg [/mm] b. (das ist noch klar).
Nun will ich die Implikation a [mm] \Rightarrow [/mm] b umkehren. Was beudetet das?
Heißt es
1.ich bilde [mm] \neg [/mm] b [mm] \Rightarrow \neg [/mm] a (Kontraposition) oder
2. ich schreibe einfach b [mm] \Rightarrow [/mm] a ?
Leider finde ich in unterschieldichen Büchern/Skripten verschiedene Antworten.
Also, was ist die Umkehrung der Implikation?
Danke im Voraus.
Gruß theo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Do 26.08.2010 | | Autor: | notinX |
Hi,
> kann mir jemand sagen, ob folgendes richtig ist:
>
> Negiere ich die Implikation a [mm]\Rightarrow[/mm] b so erhalte ich
> [mm]\neg[/mm] a [mm]\vee[/mm] b. (das ist noch klar).
richtig.
> Nun will ich die Implikation a [mm]\Rightarrow[/mm] b umkehren. Was
> beudetet das?
> Heißt es
>
> 1.ich bilde [mm]\neg[/mm] b [mm]\Rightarrow \neg[/mm] a (Kontraposition)
> oder
>
> 2. ich schreibe einfach b [mm]\Rightarrow[/mm] a ?
die erste Version ist richtig.
Nehmen wir als Beispiel die Implikation
diffbar [mm] $\Rightarrow$ [/mm] stetig
dass das gilt ist vermutlich klar.
stetig [mm] $\Rightarrow$ [/mm] diffbar
gilt aber im Allgemeinen nicht (Beispiel: Betragsfunktion im Nullpunkt)
Dass
nicht stetig [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nicht diffbar
stets gilt sollte klar sein, denn wie soll man eine Tangente an eine nicht stetige Funktion legen?
Du kannst Dir das auch mit einer Wahrheitstabelle verdeutlichen.
> Leider finde ich in unterschieldichen Büchern/Skripten
> verschiedene Antworten.
Das sollte aber nicht sein. Kennst Du Bücher/Skripte die dem was oben steht widersprechen?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Do 26.08.2010 | | Autor: | matheo |
Deshalb habe ich hier nachgefragt, weil ich irgendwie verwirrt bin.
Die Lösung mit der Wahrheitswertetabelle ist so eine Sache, weil ich nicht weiß, ob die Umkehrung überhaupt den gleichen Wahrheitswerteverlauf haben muss.
Hier einige Bücher/Skripte:
http://www.pihalbe.de/LOGIK.PDF Hier steht beispielsweise, dass die Replikation, also A [mm] \Leftarrow [/mm] B die Umkerhung der Impllikation ist.
http://books.google.de/books?id=uksBOXV23EAC&pg=PA3&lpg=PA3&dq=implikation+umkehrung&source=bl&ots=x7JCaoeC5A&sig=qnBoai0hxugmqgsbguFHOsc6rws&hl=de&ei=RUR2TLvLN4zGswbUksD2BQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CCEQ6AEwAzgK#v=onepage&q=implikation%20umkehrung&f=false
S. 3. ebenfalls A [mm] \Leftarrow [/mm] B die Umkehrung
http://www.calsky.com/lexikon/de/txt/i/im/implikation.php Hier ist es die Kontraposition.
http://books.google.de/books?id=NUZmo6Kl828C&pg=PT58&lpg=PT58&dq=implikation+umkehrung+kontraposition&source=bl&ots=1dFQfXvDTJ&sig=9FjVH85Ico95vj3ZxqjPmYWl4Fg&hl=de&ei=xEV2TIu4NcbFswaNrfyVBg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5&ved=0CCYQ6AEwBA#v=onepage&q=implikation%20umkehrung%20kontraposition&f=false
hier unter Logik 196-204 auch Kontraposition
http://www.cevis.uni-bremen.de/Binaries/Binary1086/SkriptWiSe1.pdf
S. 20 Nr. 13. In dieser Aufgabe muss man sowohl die Kontraposition als auch die Umkehrung bilden.
Deshalb kann es ja nicht das gleiche sein.
Also was stimmt?
Gruß theo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Do 26.08.2010 | | Autor: | notinX |
Hallo,
ich sehe gerade, dass wir uns etwas falsch verstanden haben.
Verwechsle Umkehung und Negation nicht.
Die Umkehrung der Implikation ist die Replikation, also [mm] $B\Rightarrow [/mm] A$ statt [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$. Wenn sowohl Implikation als auch Replikation gelten spricht man von Äquivalenz, andernfalls gilt nur eins von beiden.
Die Negation der Implikation ist die Kontraposition, also wird [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ zu [mm] $\neg B\Rightarrow \neg [/mm] A$.
Die Kontraposition ist eine Folgerung aus der Implikation und gilt immer wenn eben die Implikation gilt.
Man kann schreiben:
[mm] $(A\Rightarrow [/mm] B)$ [mm] $\Leftrightarrow$ $(\neg B\Rightarrow \neg [/mm] A)$
Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht, also:
[mm] $(A\Rightarrow [/mm] B)$ [mm] $\not\Leftrightarrow$ $(B\Rightarrow [/mm] A)$
Nichts anderes steht auch in den Skripten.
Hoffe, das bringt etwas Licht ins Dunkel 
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Do 26.08.2010 | | Autor: | matheo |
>
> ich sehe gerade, dass wir uns etwas falsch verstanden
> haben.
> Verwechsle Umkehung und Negation nicht.
> Die Umkehrung der Implikation ist die Replikation, also
> [mm]B\Rightarrow A[/mm] statt [mm]A\Rightarrow B[/mm]. Wenn sowohl
> Implikation als auch Replikation gelten spricht man von
> Äquivalenz, andernfalls gilt nur eins von beiden.
ok, vielen Dank für dieser Erklärung :)
> Die Negation der Implikation ist die Kontraposition, also
> wird [mm]A\Rightarrow B[/mm] zu [mm]\neg B\Rightarrow \neg A[/mm].
Das stimmt so doch nicht, oder?! Denn die Negation einer Aussage hat genau den gegenteiligen Wahrheitswerteverlauf. D.h., dass die Kontraposition den Wahrheitsverlauf fwff haben müsste, da die Implikation den Wahrheitsverlauf wfww hat. Und das ist ja nicht der Fall, da es sich bei der Implikation a [mm] \Rightarrow [/mm] b [mm] \gdw \neg [/mm] b [mm] \Rightarrow \neg [/mm] a um eine Tautologie handelt.
Die Negation einer Implikation ist a [mm] \wedge \neg [/mm] b.
Kann es sein, dass du dich einfach nur verschrieben hast?
Gruß theo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Do 26.08.2010 | | Autor: | notinX |
> > Die Negation der Implikation ist die Kontraposition, also
> > wird [mm]A\Rightarrow B[/mm] zu [mm]\neg B\Rightarrow \neg A[/mm].
>
> Das stimmt so doch nicht, oder?!
Richtig, da habe ich Unfug geschrieben.
> Denn die Negation einer
> Aussage hat genau den gegenteiligen Wahrheitswerteverlauf.
> D.h., dass die Kontraposition den Wahrheitsverlauf fwff
> haben müsste, da die Implikation den Wahrheitsverlauf wfww
> hat. Und das ist ja nicht der Fall, da es sich bei der
> Implikation a [mm]\Rightarrow[/mm] b [mm]\gdw \neg[/mm] b [mm]\Rightarrow \neg[/mm]
> a um eine Tautologie handelt.
> Die Negation einer Implikation ist a [mm] $\wedge$\neg [/mm] b.
mach aus dem logischen "und" noch ein "oder" dann sollte es jetzt endlich stimmen 
>
> Kann es sein, dass du dich einfach nur verschrieben hast?
Nein, ich hab mich nicht verschrieben, ich hab mich vertan. Bei den ganzen Implikationen, Replikation, Kontrapositionen, Negation, etc. kommt man leicht mal durcheinander...
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Fr 27.08.2010 | | Autor: | matheo |
> > Die Negation einer Implikation ist a [mm]\wedge[/mm][mm] \neg[/mm] b.
> > mach aus dem logischen "und" noch ein "oder" dann sollte es
> jetzt endlich stimmen
Wenn ich ein oder daraus mache, dann habe ich doch eigentlich nur die Implikation mit "oder" und "nicht" dargestellt.
Die Implikation (a [mm] \Rightarrow [/mm] b) [mm] \gdw (\neg [/mm] a [mm] \vee [/mm] b) (<--- das ist nur eine andere Schreibweise für die Implikation)
Ich negiere also [mm] (\neg [/mm] a [mm] \vee [/mm] b)
d.h. [mm] \neg (\neg [/mm] a [mm] \vee [/mm] b) und das ist nach DeMorgan (a [mm] \wedge \neg [/mm] b). Also die Negation der Implikation ist (a [mm] \wedge \neg [/mm] b).
> Nein, ich hab mich nicht verschrieben, ich hab mich vertan.
> Bei den ganzen Implikationen, Replikation,
> Kontrapositionen, Negation, etc. kommt man leicht mal
> durcheinander...
Da stimme ich dir vollkommen zu :)
Gruß theo
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