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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Fr 02.11.2018 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Folgender Sachverhalt soll bewiesen werden:
Sei A -> B eine Abbildung.
(ii) Für jede Teilmenge M [mm] \subset [/mm] A gilt: [mm] f^{-1}(f(M)) [/mm] = M =>
(i) f ist injektiv.
Seien also [mm] f(x_{2}) [/mm] = [mm] f(x_{1}) [/mm] gegeben.
=> [mm] f(x_{2}) \in [/mm] f(A) und [mm] f(x_{1}) \in [/mm] f(A)
=> [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{1} \in f^{-1}(f(A)) [/mm]
=> [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{1} \in [/mm] A
Wäre das so in Ordnung?
Wie immer wäre ich für eure Antworten sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Fr 02.11.2018 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Hallo zusammen!
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> Folgender Sachverhalt soll bewiesen werden:
>
> Sei A -> B eine Abbildung.
[mm] $\red{f\colon} A\to [/mm] B$
>
> (ii) Für jede Teilmenge M [mm]\subset[/mm] A gilt: [mm]f^{-1}(f(M))[/mm] = M
> =>
> (i) f ist injektiv.
>
>
> Seien also [mm]f(x_{2})[/mm] = [mm]f(x_{1})[/mm] gegeben.
... und [mm] $x_1,x_2\in [/mm] A$
> => [mm]f(x_{2}) \in[/mm] f(A) und [mm]f(x_{1}) \in[/mm] f(A)
> => [mm]x_{2}[/mm] = [mm]x_{1} \in f^{-1}(f(A))[/mm]
Wieso ist [mm] $x_1=x_2$? [/mm] Das ist zu zeigen! Das geht *mir* zu schnell.
> => [mm]x_{2}[/mm] = [mm]x_{1} \in[/mm] A
>
>
> Wäre das so in Ordnung?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Wie immer wäre ich für eure Antworten sehr dankbar!
>
Moeglicherweise geht es so: Zeige [mm] $\{x_1\}\subset\{x_2\}$ [/mm] ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Fr 02.11.2018 | | Autor: | X3nion |
Hallo luis52 und vielen Dank für deine Antwort!
Hmm aber die Schritte
> Seien also $ [mm] f(x_{2}) [/mm] $ = $ [mm] f(x_{1}) [/mm] $ und $ [mm] x_1,x_2\in [/mm] A $ gegeben
> => $ [mm] f(x_{2}) \in [/mm] $ f(A) und $ [mm] f(x_{1}) \in [/mm] $ f(A)
wären okay?
Ich komme unter Benutzung von (ii) auf $ [mm] f^{-1}(f(A)) [/mm] = A = [mm] \{x_{1}, x_{2}\} [/mm] $
Wie soll ich nun aber beide Inklusionen [mm] \{x_{1}\} \subset \{x_{2}\} [/mm] und umgekehrt zeigen?
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Fr 02.11.2018 | | Autor: | luis52 |
> Hallo luis52 und vielen Dank für deine Antwort!
>
> Hmm aber die Schritte
>
> > Seien also [mm]f(x_{2})[/mm] = [mm]f(x_{1})[/mm] und [mm]x_1,x_2\in A[/mm] gegeben
>
> > => [mm]f(x_{2}) \in[/mm] f(A) und [mm]f(x_{1}) \in[/mm] f(A)
>
>
>
> wären okay?
Ja.
>
> Ich komme unter Benutzung von (ii) auf [mm]f^{-1}(f(A)) = A = \{x_{1}, x_{2}\}[/mm]
Die letzte Gleichung ist nicht zwingend.
>
> Wie soll ich nun aber beide Inklusionen [mm]\{x_{1}\} \subset \{x_{2}\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Fang mal so an: $\{x_1}\}\subset f^{-1}(f(\{x_1\})) \ldots $
> und umgekehrt zeigen?
>
Dito.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 02.11.2018 | | Autor: | X3nion |
Danke nochmal für deine Antwort!
$ [mm] \{x_1\} \subset f^{-1}(f(\{x_1\})) [/mm] = [mm] f^{-1}(f(\{x_2\})) [/mm] = [mm] \{x_{2}\}
[/mm]
wobei beim ersten Gleichheitszeichen die Voraussetzung [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] einhergeht?
Wäre das so korrekt?
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Fr 02.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Danke nochmal für deine Antwort!
>
> $ [mm]\{x_1\} \subset f^{-1}(f(\{x_1\}))[/mm] = [mm]f^{-1}(f(\{x_2\}))[/mm] =
> [mm]\{x_{2}\}[/mm]
>
> wobei beim ersten Gleichheitszeichen die Voraussetzung
> [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm] einhergeht?
Ja
> Wäre das so korrekt?
Ja, aber oben kannst Du schreiben:
[mm]\{x_1\}= f^{-1}(f(\{x_1\}))[/mm] = [mm]f^{-1}(f(\{x_2\}))[/mm] = [mm]\{x_{2}\}[/mm]
und fertig ist der Schuh !
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Fr 02.11.2018 | | Autor: | X3nion |
> > Danke nochmal für deine Antwort!
> >
> > $ [mm]\{x_1\} \subset f^{-1}(f(\{x_1\}))[/mm] = [mm]f^{-1}(f(\{x_2\}))[/mm] =
> > [mm]\{x_{2}\}[/mm]
> >
> > wobei beim ersten Gleichheitszeichen die Voraussetzung
> > [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm] einhergeht?
>
> Ja
>
>
> > Wäre das so korrekt?
>
> Ja, aber oben kannst Du schreiben:
>
> [mm]\{x_1\}= f^{-1}(f(\{x_1\}))[/mm] = [mm]f^{-1}(f(\{x_2\}))[/mm] =
> [mm]\{x_{2}\}[/mm]
>
>
> und fertig ist der Schuh !
>
> >
> >
> > Viele Grüße,
> > X3nion
>
Vielen vielen Dank Fred! Ledersohle ist nun auch dran, damit ist der Schuh vollständig und die Aufgabe komplett!
Viele Grüße,
X3nion
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