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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Realteil von [mm] f\left(\bruch{1}{2}*e^{2*i*x}\right) [/mm] mit [mm] f(x)=log\left(z+\bruch{1}{2}\right) [/mm] gegeben ist durch log(cos(x)). Finden Sie auch den entsprechenden Imginärteil. |
Hallo,
also den Realteil konnte ich finden. Nach Anwendung der "Doppelwinkelformeln" für sin(x) und cos(x) kann man den Logarithmus auf folgende Form bringen:
[mm] log(cos(x)*e^{i*x})=log(cos(x))+i*x+2*k*\pi*i
[/mm]
In der Lösung sagt es nun aber [mm] k*\pi [/mm] . Das konnte ich nicht nachvollziehen. Dort heißt es, dass k irgendeine ganze Zahl sein kann, wenn cos(x)>0 und ungerade sein muss für cos(x)<0. Daher seinen Real- und Imaginärteil :
[mm] Re\left[f\left(\bruch{1}{2}*e^{2*i*x}\right)\right]=log(cos(x)) [/mm] und [mm] Im\left[f\left(\bruch{1}{2}*e^{2*i*x}\right)\right]=x+k*\pi
[/mm]
Kann jemand licht in mein dunkel bringen ?
Lg
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo,
danke für deine Antwort... Leider konnte ich dem nicht entnehmen, warum dort nur [mm] k*\pi*i [/mm] steht und nicht [mm] 2*k*\pi*i [/mm] ... Vielleicht kann nochmal jemand kurz mit einem Text versuchen, das ganz zu erklären ?
Dankeschön :)
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Di 13.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
an der Zeichnung siehst du, wenn sich x ändert, ändert sich der Winkel in der Mitte um 2x,
anders ausgedrückt [mm] e^{2ix}=e^{2ix+k*2\pi}=e^{2i*(x+k*\pi)}
[/mm]
Gruss leduart
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