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| Aufgabe | VORBEMERKUNG:
Wenn man 10 Mal mit 10 Würfeln wirft, dann ist die Wahrscheinlichkeit, bei jedem dieser zehn Würfe mindestens eine EINS zu werfen, etwa genau so groß, wie die Wahrscheinlichkeit, in einem Wurf mit einem Würfel eine EINS zu werfen.
(Die Flächen des Würfels sind von EINS bis SECHS nummeriert)
FRAGE:
Mit wie vielen Ikosaedern muss man wie oft würfeln (gleiche Anzahl !), damit dei Wahrscheinlichkeit, mit jedem dieser Würfe eine EINS zu werfen, etwa genau so groß ist, wie die Wahrscheinlichkeit, in einem Wurf mit einem Ikosaeder eine EINS zu werfen?
(Die Flächen des Ikosaeders sind von EINS bis ZWANZIG nummeriert) |
p sei die Einzelwahrscheinlichkeit. Für einen Würfel ist diese etwa 0.167, bei einem Ikosaeder ist diese 0.05
x sei die gesuchte Anzahl der Ikosaeder bzw. der Würfe, wobei x [mm] \in \IN
[/mm]
Die Formel für den Ikosaeder wäre dann:
[mm] (1-0.95^{x})^{x} \approx [/mm] 0.05
Doch wie kriegt man jetzt x raus ???
Probieren wäre natürlich eine Möglichkeit. Aber kann man das auch berechnen ???
P.S.
Die allgemeine Formel wäre: [mm] [1-(1-p)^{x}]^{x} \approx [/mm] p
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Hallo,
das Problem ist ja einfach das folgende: einmal logarithmieren fürhrt zu
[mm] x*ln(1-0,95^x)=ln(0,05)
[/mm]
und diese Gleichung lässt sich sicherlich nicht auf elementarem Weg lösen. Unter Umständen kann man sie mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) Lambert'schen W-Funktion nach x auflösen (ich habe dies nicht durchgerechnet!), dies hat aber keine praktische Bedeutung. In der Praxis würde man hier durch ein Näherungsverfahren denjenigen Wert für x bestimmen, für den beide Wahrscheinlichkeiten die kleinste Differenz aufweisen.
Gruß, Diophant
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