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| Aufgabe | Berechnen Sie die ersten vier Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von f(x) =
log(1 + x) um den Entwicklungspunkt 0 indem Sie von [mm]x + 1 = e^{log(x+1)}[/mm] ausgehen und einen Koeffizientenvergleich durchführen.
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Hallo!
Ich denke mal, die Aufgabenstellung läuft auf die Anwendung des Identitätssatzes für Potenzreihen hinaus. Um Koeffizientenvergleich durchführen zu können braucht man ja 2 verschiedene Darstellungen derselben Reihe. Soll ich also [mm]log(e^{log(x+1)})[/mm] in eine Potenzreihe entwickeln um zu einer anderen Darstellung zu gelangen, als mit log(1 + x)? Wenn ich differenziere und in eine geometrische Reihe entwickle, die ich anschließend integriere, komme ich aber beim differenzieren schon bei beiden Ansätzen auf das Gleiche.
Kann mir jemand helfen, die Aufgabenstellung richtig zu deuten?
Gruß und Dank!
Angelika
Ich habe die Aufgabe auch auf www.matheboard.de gepostet.
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Hallo AbraxasRishi,
> Berechnen Sie die ersten vier Koeffizienten der
> Potenzreihenentwicklung von f(x) =
> log(1 + x) um den Entwicklungspunkt 0 indem Sie von [mm]x + 1 = e^{log(x+1)}[/mm]
> ausgehen und einen Koeffizientenvergleich durchführen.
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> Hallo!
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> Ich denke mal, die Aufgabenstellung läuft auf die
> Anwendung des Identitätssatzes für Potenzreihen hinaus.
> Um Koeffizientenvergleich durchführen zu können braucht
> man ja 2 verschiedene Darstellungen derselben Reihe. Soll
> ich also [mm]log(e^{log(x+1)})[/mm] in eine Potenzreihe entwickeln
> um zu einer anderen Darstellung zu gelangen, als mit log(1
> + x)? Wenn ich differenziere und in eine geometrische Reihe
> entwickle, die ich anschließend integriere, komme ich aber
> beim differenzieren schon bei beiden Ansätzen auf das
> Gleiche.
>
> Kann mir jemand helfen, die Aufgabenstellung richtig zu
> deuten?
Die Darstellung von [mm]f\left(x\right)[/mm] als Potenzreihe
um den Entwicklungspunkt [mm]x_{0}[/mm] ist Dir ja bekannt:
[mm]f\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)} }{k!}*\left(x-x_{0}\right)^{k}}[/mm]
Ziel ist es nun die unbekannten Koeffizienten [mm]f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)[/mm]
zu bestimmen.
Hierbei kommt der Ansatz
[mm]x+1=e^{\operatorname{log}\left(x+1\right)}[/mm]
zum Einsatz.
Die unbekannten Koeffizienten bestimmen sich nun durch
mehrmalige Differentiation beider Seiten und Einsetzen von [mm]x_{0}=0[/mm].
Es ist hier besser Du definierst Dir hier: [mm]f\left(x\right):=\operatorname{log}\left(x+1\right)[/mm]
Dann ist das nicht soviel Schreibarbeit.
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> Gruß und Dank!
>
> Angelika
>
> Ich habe die Aufgabe auch auf www.matheboard.de gepostet.
Gruss
MathePower
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