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| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie folgende Identitäten:
a) für A [mm] \in [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n,K), B,C [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] p,K):A(B+C)=AB+AC
b) für A [mm] \in [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n,K), B [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] p,K), [mm] \lambda \in K:\lambda [/mm] (AB)=( [mm] \lambda [/mm] A)B=A( [mm] \lambda [/mm] B)
c) für A [mm] \in [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n,K), B,C [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] p,K):( AB=AC [mm] \Rightarrow [/mm] B=C [mm] \vee [/mm] A=0)
d) für A,B [mm] \in [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n,K), [mm] \lambda \in [/mm] K: ( [mm] \lambda [/mm] A= [mm] \lambda [/mm] B [mm] \Rightarrow \lambda=0 \vee [/mm] A=B) |
Ich habe die Aufgabe bereits gelöst,doch bin ich etwas verwirrt,denn bei mir sind alle vier Identitäten wahr. Kann das sein? Denn in der Aufgabenstellung steht "oder widerlegen Sie". Kann mir jemand sagen, ob mein Ergebnis richtig ist? Also ob alle Identitäten richtig sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Mo 01.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Beweisen oder widerlegen Sie folgende Identitäten:
> a) für A [mm]\in[/mm] M(m [mm]\times[/mm] n,K), B,C [mm]\in[/mm] M(n [mm]\times[/mm]
> p,K):A(B+C)=AB+AC
> b) für A [mm]\in[/mm] M(m [mm]\times[/mm] n,K), B [mm]\in[/mm] M(n [mm]\times[/mm] p,K),
> [mm]\lambda \in K:\lambda[/mm] (AB)=( [mm]\lambda[/mm] A)B=A( [mm]\lambda[/mm] B)
> c) für A [mm]\in[/mm] M(m [mm]\times[/mm] n,K), B,C [mm]\in[/mm] M(n [mm]\times[/mm] p,K):(
> AB=AC [mm]\Rightarrow[/mm] B=C [mm]\vee[/mm] A=0)
> d) für A,B [mm]\in[/mm] M(m [mm]\times[/mm] n,K), [mm]\lambda \in[/mm] K: ( [mm]\lambda[/mm]
> A= [mm]\lambda[/mm] B [mm]\Rightarrow \lambda=0 \vee[/mm] A=B)
>
> Ich habe die Aufgabe bereits gelöst,doch bin ich etwas
> verwirrt,denn bei mir sind alle vier Identitäten wahr. Kann
> das sein? Denn in der Aufgabenstellung steht "oder
> widerlegen Sie". Kann mir jemand sagen, ob mein Ergebnis
> richtig ist? Also ob alle Identitäten richtig sind?
Mindestens eine der Identitaeten ist falsch.
Wie hast du denn z.B. c) und d) geloest?
LG Felix
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Also...ich weiß,dass a) und b) auf jeden Fall richtig sind,denn das wurde bereits in der Vorlesung gesagt und ich konnte es auch beweisen. c) und d) habe ich wie folgt bewiesen:
c) AB=AC
[mm] \gdw \summe_{i=1}^{n} a_{ij}b_{jk}=\summe_{i=1}^{n} a_{ij}c_{jk}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=1}^{n} a_{ij}b_{jk} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ij}c_{jk}=0
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=1}^{n} a_{ij}b_{jk} [/mm] - [mm] a_{ij}c_{jk}=0
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=1}^{n} a_{ij}(b_{jk} [/mm] - [mm] c_{jk})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{ij}=0 \vee b_{jk} [/mm] - [mm] c_{jk}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{ij}=0 \vee b_{jk}=c_{jk}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A=0 [mm] \vee [/mm] B=C
d) [mm] \lambda [/mm] A= [mm] \lambda [/mm] B
[mm] \gdw \lambda a_{ij}= \lambda b_{ij}
[/mm]
[mm] \gdw \lambda a_{ij} [/mm] - [mm] \lambda b_{ij}=0
[/mm]
[mm] \gdw \lambda (a_{ij} [/mm] - [mm] b_{ij})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda=0 \vee a_{ij} [/mm] - [mm] b_{ij}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda=0 \vee a_{ij}=b_{ij}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda=0 \vee [/mm] A=B
Was habe ich falsch gemacht??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Studentin87,
> Also...ich weiß,dass a) und b) auf jeden Fall richtig
> sind,denn das wurde bereits in der Vorlesung gesagt und ich
> konnte es auch beweisen. c) und d) habe ich wie folgt
> bewiesen:
>
> c) AB=AC
> [mm]\gdw \summe_{i=1}^{n} a_{ij}b_{jk}=\summe_{i=1}^{n} a_{ij}c_{jk}[/mm]
Das ist mMn nicht richtig, die Matrizenmultiplikation folgt der Regel "Zeile mal Spalte", also müsste es lauten
[mm]\gdw \summe^n_{\red{j}=1} a_{ij}b_{jk}=\summe^n_{\red{j}=1} a_{ij}c_{jk}[/mm]
(war wahrscheinlich nur ein Tippfehler)
Du musst dir hier im Klaren sein, dass [mm] $\summe_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}$ [/mm] nur ein einziger Eintrag der Matrix AB ist, nämlich der in der i-ten Zeile und k-ten Spalte.
> [mm]\gdw \summe_{i=1}^{n} a_{ij}b_{jk}[/mm] - [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{ij}c_{jk}=0[/mm]
>
> [mm]\gdw \summe_{i=1}^{n} a_{ij}b_{jk}[/mm] - [mm]a_{ij}c_{jk}=0[/mm]
> [mm]\gdw \summe_{i=1}^{n} a_{ij}(b_{jk}[/mm] - [mm]c_{jk})=0[/mm]
Mit der obigen Verbesserung müsste es hier lauten:
[mm]\gdw \summe_{j=1}^{n} a_{ij}(b_{jk} - c_{jk})=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow a_{ij}=0 \vee b_{jk}[/mm] - [mm]c_{jk}=0[/mm]
Diese Folgerung ist nun ganz falsch 
Da hat du wohl das Summenzeichen übersehen, eine Summe ist doch nicht genau dann Null, wenn alle Summanden Null sind.
> [mm]\Rightarrow a_{ij}=0 \vee b_{jk}=c_{jk}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] A=0
> [mm]\vee[/mm] B=C
>
> d) [mm]\lambda[/mm] A= [mm]\lambda[/mm] B
> [mm]\gdw \lambda a_{ij}= \lambda b_{ij}[/mm]
für alle $i,j$, also jeden Eintrag!
> [mm]\gdw \lambda a_{ij}[/mm] -
> [mm]\lambda b_{ij}=0[/mm]
> [mm]\gdw \lambda (a_{ij}[/mm] - [mm]b_{ij})=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda=0 \vee a_{ij}[/mm] - [mm]b_{ij}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda=0 \vee a_{ij}=b_{ij}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda=0 \vee[/mm]
> A=B
Das sieht gut aus.
> Was habe ich falsch gemacht??
Siehe oben
Viele Grüße,
Marc
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Ok stimmt du hast recht!
Aber wie kann ich c) widerlegen?? Wie muss ich denn da weiter vorgehen?? Oder würde es reichen ein Gegenbeispiel anzugeben??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Studentin87,
> Ok stimmt du hast recht!
> Aber wie kann ich c) widerlegen?? Wie muss ich denn da
> weiter vorgehen?? Oder würde es reichen ein Gegenbeispiel
> anzugeben??
Klar, ein Gegenbeispiel widerlegt jede Behauptung.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:52 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Dinker |
derder
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:04 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Marc |
diedas
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 20:10 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Dinker |
Ist das eine verarschung?
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:12 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Marc |
Klar, was sonst?
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 20:15 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Dinker |
Wieso machst du das?
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 20:31 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Marc |
Wieso hast du deine erste Korrekturmitteilung geschrieben?
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