Identität zeigen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mi 31.10.2007 | | Autor: | matt57 |
| Aufgabe | Hallo
Ich soll folgendes zeigen:
Identität für
[mm] $\summe_{i,k=1}^{n}(a_{i} [/mm] - [mm] a_{k})*(b_{i}-b_{k} [/mm] ) = 2 [mm] \{n \summe_{k=1}^{n} a_{k} b_{k} - (\summe_{k=1}^{n} a_{k}) (\summe_{k=1}^{n} b_{k})\}$
[/mm]
Ich habe schon angefangen die Summen zusammenzuziehen, aber bislang erfolglos. Indexverschiebung, Ausklammern.... ???
Wenn mit Jemand einen Hinweis geben könnte, wäre ich erstmal dankbar und werde versuchen weiterzukommen.
Danke und viele Grüße |
Daraus soll dann folgende Ungleichung hergeleitet werden - auch hier benötige ich erstaml die Lösung von Teilaufgabe a
Ist [mm] $a_{1} \ge a_{2} \ge [/mm] ... [mm] \ge a_{n}$ [/mm] und [mm] $b_{1} \ge b_{2} \ge [/mm] ... [mm] \ge b_{n}$
[/mm]
so gilt
[mm] $\bruch{a_{1} + a_{2}+ ... + a_{n}}{n} [/mm] * [mm] \bruch{b_{1} + b_{2}+ ... + b_{n}}{n} \le \bruch{a_{1} b_{1}+a_{2}b_{2} + ... + a_{n}b_{n}}{n}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo matt!
Hast Du es schon mit vollständiger Induktion nach der Variable $n_$ versucht?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Do 01.11.2007 | | Autor: | matt57 |
Hallo
Ich bin mir nicht ganz sicher wo eine vollständige Induktion bei einem Identitätsnachweis hinführen sollte. Hier geht es doch eher darum, zu zeigen, dass rechts das Gleiche wie links steht. Wenn ich z.B da stehen habe [mm] (n+1)^2 [/mm] = [mm] n^2+2n+1, [/mm] dann benötige ich ja keine Induktion sondern wende einfach das Distributivgesetz an, oder? Und das gilt ja in [mm] \IN, [/mm] also für alle n.
Bei der VI müsste ich bzgl. der Aufgabe erstmal n=1 setzen und ausmultiplizieren. Und dann auf n=n+1 übertragen. Doch warum? Es genügt doch, wenn rechte Seite = linke Seite.
Doch schon beim Ausmultiplizieren der Summen hapert es.
Hast DU evtl einen Hinweis, wie ich beginnen könnte?
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Do 01.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht solltest du dir erstmal die einzelnen Summen für n=2 hinschreiben.
Dann wird vieles klarer!
Danach vorn die Klammern ausm. dann hast du schon mal die Terme [mm] a_i*b_i [/mm] über k summiert und [mm] a_kb_k [/mm] über i summiert, also 2 mal dasselbe.
Danach musst du überlegen was das Produkt der 2 Summen rechts ist, und das mit der verbleibenden Summe links vergleichen!
Ich hoff, dir ist klar:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_k*b_k=n*a_k*b_k
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:32 Sa 03.11.2007 | | Autor: | matt57 |
Könnte es also sein, dass hier wirklich keine Induktion gefragt ist???
Ein riesengroßer Schreibaufwand, aber ich bin dabei, es zu versuchen...
Falls ich nicht weiterkomme, melde ich mich
Danke und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab nicht gesagt, dass es mit Induktion nicht geht! habs mir daraufhin nicht angesehen!
Gruss leduart
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:13 So 04.11.2007 | | Autor: | matt57 |
| Aufgabe 1 | Hallo
Ich bin jetzt soweit gekommen:
[mm] \summe_{i,k=1}^{n}(a_{i} [/mm] - [mm] a_{k})*(b_{i}-b_{k} [/mm] )
[mm] =\summe_{i,k=1}^{n}a_{i}b_{i}-a_{k}b_{i}-a_{i}b_{k}+a_{k}b_{k}
[/mm]
[mm] =\summe_{i,k=1}^{n}2*a_{k}b_{k}-a_{k}b_{i}-a_{i}b_{k}
[/mm]
für n = 2:
[mm] 2*((a_{1}+a_{2})* (b_{1}+b_{2})) [/mm] - [mm] ((a_{1}+a_{2})*(b_{1}+b_{2})- (a_{1}+a_{2})(*b_{1}+b_{2}))
[/mm]
(vorausgesetzt, dass ist korrekt ausgeschrieben... bin unsicher, was Umgang mit Doppel- Index i,k betrifft!
Hier ist meine Frage, ob ich die Indizees i,k jeweils vertauschen darf, da n=n (???)
Es gilt [mm] \summe_{i,k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{n} (\summe_{k=1}^{n}) a_{i}b_{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (\summe_{i=1}^{n}) a_{i}b_{k} [/mm] )
Dann ergäbe ja Obiges
[mm] 2*((a_{1}+a_{2})* (b_{1}+b_{2})) [/mm] - [mm] ((a_{1}+a_{2})*(b_{1}+b_{2})- (a_{1}+a_{2})(*b_{1}+b_{2}))
[/mm]
[mm] =2*\summe_{i,k=1}^{n}*a_{k}b_{k}-0
[/mm]
Wenn ich mir nun die rechte Seite vornehme
2 [mm] \{n \summe_{k=1}^{n} a_{k} b_{k} - (\summe_{k=1}^{n} a_{k}) (\summe_{k=1}^{n} b_{k})\}
[/mm]
für n = 2:
=2 [mm] [2((a_{1} +a_{2}) (b_{1}+ b_{2})) [/mm] - [mm] ((a_{1} +a_{2})(b_{1}+ b_{2})]
[/mm]
=2 [mm] [(a_{1} +a_{2}) (b_{1}+ b_{2})]
[/mm]
[mm] =2*\summe_{i,k=1}^{n}*a_{k}b_{k}
[/mm]
[mm] =2*\summe_{i,k=1}^{n}*a_{k}b_{k}-0
[/mm]
Geht das so? Oder ist da der Wunsch der Vater des Gedanken?
Jetzt komme ich mit der Verallgemeinerung nicht recht weiter.
Viele Grüße und Danke!
| Aufgabe 2 | Und noch eine Frage, wie ich dann in Richtung Tschebyscheffsche Ungleichung komme.
Ist [mm] $a_{1} \ge a_{2} \ge [/mm] ... [mm] \ge a_{n}$ [/mm] und [mm] $b_{1} \ge b_{2} \ge [/mm] ... [mm] \ge b_{n}$
[/mm]
so gilt
[mm] $\bruch{a_{1} + a_{2}+ ... + a_{n}}{n} [/mm] * [mm] \bruch{b_{1} + b_{2}+ ... + b_{n}}{n} \le \bruch{a_{1} b_{1}+a_{2}b_{2} + ... + a_{n}b_{n}}{n}$
[/mm]
Als Summen geschrieben und n erweitert erhalte ich ja eigentlich
[mm] \summe_{i=1}^{n}a [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}b \ge \summe_{i,k=1}^{n}a_{i}b_{k}
[/mm]
Aber mir ist die Sache mit den Indizees auch hier nicht ganz klar.
Würde mich über Hilfe freuen.
Danke und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 07.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mi 07.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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