Identität ist linear < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier stehen, dass wenn V und V' K-Vektorräume sind, dass dann $id:V [mm] \to [/mm] V$ mit $v [mm] \mapsto [/mm] v$ linear ist, und ich würde gerne wissen, ob der Nachweis, den ich dafür geführt habe, richtig ist.
Also es müsste ja dann $V=V'$ sein, oder?
Und $f(v)=v$ nach Abbildungsschrift.
1) Ich muss zeigen, dass $f(v+v)=f(v)+f(v)$ ist.
Ich bin so vorgegangen: $f(v+v)=f(2v)=2v=v+v=f(v)+f(v)$
Das $f(2v)=2v$ hab ich einfach anhand der Abbildungsvorschrift erhalten.
Also ist $f(v+v)=f(v)+f(v)$ erfüllt.
2) Ich muss zeigen, dass $f(a*v)=a*f(v)$ ist.
Hier habe ich direkt mit der Abbildungsvorschrift gestartet:
$f(a*v)=a*v=a*f(v)$
Also ist $f(a*v)=a*f(v)$ erfüllt.
Ist der Nachweis so in Ordnung?
LG, Nadine
P.S.: Gilt die Definition von linearen Abbildungen eigentlich nur für Vektorräume (so haben wir es definiert) oder können auch "normale" Funktionen wie z.B. Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] linear sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Fr 16.10.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo Nadine,
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> Also es müsste ja dann [mm]V=V'[/mm] sein, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Und [mm]f(v)=v[/mm] nach Abbildungsschrift.
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> 1) Ich muss zeigen, dass [mm]f(v+v)=f(v)+f(v)[/mm] ist.
>
> Ich bin so vorgegangen: [mm]f(v+v)=f(2v)=2v=v+v=f(v)+f(v)[/mm]
Das ist so nicht ganz richtig. Was soll denn "2" sein? So etwas muss es in einem allgemeinen Körper K nicht geben. Aber gehe doch einfach so vor wie bei 2): wende auf die linke und die rechte Seite der Behauptung die Abbildungsvorschrift an und stelle fest, dass das gleiche rauskommt.
Auserdem denke ich, dass du das ganze für zwei (im allgemeinen) verschiedene Vektoren zeigen musst, also $f(v+w) = f(v) + f(w)$ (was aber am Vorgehen eigentlich nichts ändert). Schau da noch mal in eurer Definition nach.
>
> Das [mm]f(2v)=2v[/mm] hab ich einfach anhand der
> Abbildungsvorschrift erhalten.
>
> Also ist [mm]f(v+v)=f(v)+f(v)[/mm] erfüllt.
>
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>
> 2) Ich muss zeigen, dass [mm]f(a*v)=a*f(v)[/mm] ist.
>
> Hier habe ich direkt mit der Abbildungsvorschrift
> gestartet:
>
> [mm]f(a*v)=a*v=a*f(v)[/mm]
>
> Also ist [mm]f(a*v)=a*f(v)[/mm] erfüllt.
>
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> Ist der Nachweis so in Ordnung?
>
> LG, Nadine
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>
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> P.S.: Gilt die Definition von linearen Abbildungen
> eigentlich nur für Vektorräume (so haben wir es
> definiert) oder können auch "normale" Funktionen wie z.B.
> Funktionen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm] linear sein?
Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] können natürlich auch linear sein - man kann ja [mm] \IR [/mm] mit dem Vektorraum [mm] \IR^1 [/mm] identifizieren und dann die Definition entsprechend anwenden. Natürlich könnte man hier eine lineare Abbildung auch definieren, ohne erst "künstlich" einen Vektorraum einzuführen. Allerdings sind lineare Abbildungen gerade die, die zur Vektorraumstruktur "passen": Auf einem Vektorraum gibt es die zwei Operationen Addition und skalare Multiplikation und die Anforderungen an eine lineare Funktion bedeuten ja gerade, dass sich die Funktion bezüglich dieser Operationen "vernünftig" verhält.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo piet!
Danke für deine Antwort.
> Das ist so nicht ganz richtig. Was soll denn "2" sein? So
> etwas muss es in einem allgemeinen Körper K nicht geben.
> Aber gehe doch einfach so vor wie bei 2): wende auf die
> linke und die rechte Seite der Behauptung die
> Abbildungsvorschrift an und stelle fest, dass das gleiche
> rauskommt.
>
> Auserdem denke ich, dass du das ganze für zwei (im
> allgemeinen) verschiedene Vektoren zeigen musst, also
> [mm]f(v+w) = f(v) + f(w)[/mm] (was aber am Vorgehen eigentlich
> nichts ändert). Schau da noch mal in eurer Definition
> nach.
Oh ja... stimmt ja 
Also nochmal neu:
Ich muss prüfen, ob $f(v+w)=f(v)+f(w)$ gilt.
Auf $f(v+w)$ kann ich direkt die Abbildungsvorschrift anwenden:
Also: $f(v+w)=v+w=f(v)+f(w)$
Stimmt es jetzt?
> Abbildungen von $ [mm] \IR [/mm] $ nach $ [mm] \IR [/mm] $ können natürlich auch linear
> sein - man kann ja $ [mm] \IR [/mm] $ mit dem Vektorraum $ [mm] \IR^1 [/mm] $
> identifizieren und dann die Definition entsprechend anwenden.
> Natürlich könnte man hier eine lineare Abbildung auch definieren,
> ohne erst "künstlich" einen Vektorraum einzuführen. Allerdings sind
> lineare Abbildungen gerade die, die zur Vektorraumstruktur "passen":
> Auf einem Vektorraum gibt es die zwei Operationen Addition und
> skalare Multiplikation und die Anforderungen an eine lineare Funktion
> bedeuten ja gerade, dass sich die Funktion bezüglich dieser
> Operationen "vernünftig" verhält.
Hmm, so ganz verstehe ich das noch nicht.
Was meinst du z.B. mit dem "vernünftig verhalten"?
Hätte das denn irgendwelche Auswirkungen auf die beiden Vektorräume, wenn sich die Abbildung nicht "vernünftig" verhalten würde?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Sa 17.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> Also nochmal neu:
>
> Ich muss prüfen, ob [mm]f(v+w)=f(v)+f(w)[/mm] gilt. Auf [mm]f(v+w)[/mm]
> kann ich direkt die Abbildungsvorschrift anwenden: [mm]f(v+w)=v+w=f(v)+f(w)[/mm]
>
> Stimmt es jetzt?
Ja, jetzt stimmt es.
> Hmm, so ganz verstehe ich das noch nicht.
>
> Was meinst du z.B. mit dem "vernünftig verhalten"?
Er meint, dass die Abbildungen linear sind. Zerbrich dir über das "vernünftig verhalten" besser nicht den Kopf, du wirst später erkennen welche Bedeutung lineare Abbildungen für Vektorräume haben. Beachte, dass die linearen Abbildungen von [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] die Abbildungen der Form [mm] $x\mapsto a\cdot [/mm] x$ sind für ein [mm] $a\in\IR$. [/mm] Also nicht wie in der Schule [mm] $x\mapsto [/mm] ax+b$.
> Hätte das denn irgendwelche Auswirkungen auf die beiden
> Vektorräume, wenn sich die Abbildung nicht "vernünftig"
> verhalten würde?
Den Vektorräumen kann doch ziemlich egal sein was irgendwelche Abbildungen zwischen ihnen für Unfug treiben
Also ernsthaft: das ist keine besonders mathematische Frage.
Gruß, Robert
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