Identisch konstant < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
| Aufgabe | $ f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] stetig partiell differentierbar so dass
[mm] $\bruch {\partial f}{\partial x} [/mm] (x,y) = [mm] \bruch {\partial f}{\partial y} [/mm] (x,y) = 0 für alle (x,y) [mm] \in \IR^2
[/mm]
Zeigen Sie, dass f identisch konstant ist. |
Nun leider bin ich bei dieser Aufgabe überfragt. Wie zeige ich das?
Gruss, Mat_
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo,
> $ f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] stetig partiell differentierbar so
> dass
>
> [mm]$\bruch {\partial f}{\partial x}[/mm] (x,y) = [mm]\bruch {\partial f}{\partial y}[/mm]
> (x,y) = 0 für alle (x,y) [mm]\in \IR^2[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f identisch konstant ist.
> Nun leider bin ich bei dieser Aufgabe überfragt. Wie
> zeige ich das?
>
> Gruss, Mat_
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Meiner Meinung nach ist das nix großes:
[mm]$\bruch {\partial f}{\partial x}=0[/mm] bedeutet, dass die Funktion in dem Bereich, in dem das gilt (hier: ganz [mm] \IR^{2}), [/mm] nicht von x abhängt.
Analog:
[mm]$\bruch {\partial f}{\partial y}=0[/mm] bedeutet dasselbe, nur eben mit y, also keine y-Abhängigkeit.
Eine Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm], die weder von x noch von y abhängt, ist konstant!
Mit dem Begriff "identisch konstant" verbinde ich keine weitere Besonderheit, ich beziehe das "identisch" eigentlich nur auf die Tatsache, dass die beiden partiellen Ableitungen identisch sind, nämlich beide Null.
Somit ist meiner Meinung nach f identisch konstant!
[mm] \Box [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
hallo
gut diese Überlegungen habe ich gemacht, nur ich war überhautpt nicht sicher, was hier genau verlangt wird. Na gut dann hat sich das ja erledigt. Danke!
Lg Mat_
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Di 15.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Machen wir es lieber präzise:
Nimm $a,b [mm] \in \IR^2$. [/mm] Nach dem Mittelwertsatz gibt es einen Punkt [mm] (\xi, \eta) [/mm] auf der Vebindungsstrecke von a und b mit:
$f(b)-f(a)= [mm] f'(\xi,\eta)*(b-a)$
[/mm]
nach Vor. ist $ [mm] f'(\xi,\eta)=(0,0)$, [/mm] somit ist f(a)=f(b)
FRED
|
|
|
|
