Ideale in Z < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Mo 24.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Geben Sie allgemeine Beschreibungen von Summen, Schnitten und Produkten
von Idealen in Z an und beweisen Sie diese. |
Zunächstmal ist Z ja ein Hauptidealring, das heißt alle Ideale in Z sind ja von einem Element erzeugt, also von der Form [mm] Ra:=\{ra:r\in R\} [/mm] für ein [mm] a\in [/mm] R. Wenn ichs richtig verstanden habe, schreibt man dafür manchmal auch nur (a) oder <a>.
Nun denke ich mal, dass mit "allgemeine Beschreibungen" gemeint ist:
(a)+(b)=(ggT(a,b))
[mm] (a)\cap [/mm] (b)=(kgV(a,b))
(a)*(b)=(ab)
Das muss ich also jetzt beweisen.
Ich würde hierfür z.B. für die Summe zweier Ideale Folgendes machen:
zz.: [mm] (a)+(b)=a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ =ggT(a,b)\IZ [/mm]
Sei d=ggT(a,b) mit d = 0, falls a = b = 0.
Zu zeigen: [mm] a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ [/mm] = [mm] d\IZ [/mm]
[mm] \Rightarrow: [/mm] d|a, d|b [mm] \Rightarrow a\IZ \subseteq d\IZ, b\IZ\subseteq d\IZ \Rightarrow a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ\subseteq d\IZ [/mm]
[mm] \Leftarrow: \exists n\in \IN_{0}: a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ=n\IZ \Rightarrow a\IZ\subseteq n\IZ, b\IZ\subseteq n\IZ\Rightarrow [/mm] n|a, n|b [mm] \Rightarrow n|d\Rightarrow d\IZ\subseteq n\IZ=a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ [/mm] [/latex]
Sehe ich die Aufgabe richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Di 25.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Geben Sie allgemeine Beschreibungen von Summen, Schnitten
> und Produkten
> von Idealen in Z an und beweisen Sie diese.
> Zunächstmal ist Z ja ein Hauptidealring, das heißt alle
> Ideale in Z sind ja von einem Element erzeugt, also von der
> Form [mm]Ra:=\{ra:r\in R\}[/mm] für ein [mm]a\in[/mm] R. Wenn ichs richtig
> verstanden habe, schreibt man dafür manchmal auch nur (a)
> oder <a>.
>
> Nun denke ich mal, dass mit "allgemeine Beschreibungen"
> gemeint ist:
>
>
> (a)+(b)=(ggT(a,b))
> [mm](a)\cap[/mm] (b)=(kgV(a,b))
> (a)*(b)=(ab)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das muss ich also jetzt beweisen.
>
>
> Ich würde hierfür z.B. für die Summe zweier Ideale
> Folgendes machen:
>
> zz.: [mm](a)+(b)=a\IZ[/mm] + [mm]b\IZ =ggT(a,b)\IZ[/mm]
>
> Sei d=ggT(a,b) mit d = 0, falls a = b = 0.
>
> Zu zeigen: [mm]a\IZ[/mm] + [mm]b\IZ[/mm] = [mm]d\IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow:[/mm] d|a, d|b [mm]\Rightarrow a\IZ \subseteq d\IZ, b\IZ\subseteq d\IZ \Rightarrow a\IZ[/mm]
> + [mm]b\IZ\subseteq d\IZ[/mm]
Wobei du aber [mm] $\subseteq$ [/mm] meinst und nicht [mm] $\Rightarrow$. [/mm] Das sind zwei voellig verschiedene Zeichen! Und hier gibt es keine Implikation zu beweisen.
> [mm]\Leftarrow: \exists n\in \IN_{0}: a\IZ[/mm] + [mm]b\IZ=n\IZ \Rightarrow a\IZ\subseteq n\IZ, b\IZ\subseteq n\IZ\Rightarrow[/mm]
> n|a, n|b [mm]\Rightarrow n|d\Rightarrow d\IZ\subseteq n\IZ=a\IZ[/mm]
> + [mm]b\IZ[/mm]
(Ebenfalls wie oben: [mm] $\supseteq$ [/mm] anstelle [mm] $\Leftarrow$ [/mm] verwenden!)
> Sehe ich die Aufgabe richtig?
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Di 25.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Danke! Ja, stimmt, ich habe mich da mit den Zeichen vertan.
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