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Hallo,
Kann mir vielleicht jemand erklären warum,:Die Menge [mm] 2\mathbb{Z} [/mm] der geraden ganzen Zahlen ein Ideal im Ring [mm] \mathbb{Z} [/mm] aller ganzen Zahlen ist.und warum:Die Menge [mm] 2\mathbb{Z}+1 [/mm] der ungeraden ganzen Zahlen kein Ideal in [mm] \mathbb{Z} [/mm] ist?
Vielen Dank.
Lieben gruß
eva marie
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Na ein ideal ist ja eine additive Untergruppe eines Ringes $R$, für die gilt: ist $I$ eine additive Untergruppe und $i [mm] \in [/mm] I$ und $r [mm] \in [/mm] R $ beliebig . Ist dann [mm] $r\cdot [/mm] i [mm] \in [/mm] I$ so ist I ein Linksideal, falls [mm] $i\cdot [/mm] r [mm] \in [/mm] I$ ein Rechtsideal. (Falls der Ring kommutativ ist, ist das natürlich das selbe). So nun gucken wir uns mal [mm] $\IZ$ [/mm] an. Also additive Untergruppe $2 [mm] \IZ$ [/mm] nimmt man jetzt die Menge der geraden Zahlen.(Dass das eine ist, rechnet man einfach nach). Multipliziert man jetzt eine Ungerade Zahl mit einer geraden Zahl, so ist das ergebnis ja gerade also wieder im [mm] 2\IZ. [/mm] Also ist [mm] 2\IZ [/mm] ein Ideal.
Bei den ungeraden Zahlen [mm] (2k+1)\IZ [/mm] scheitert es schon an der additiven Untergruppe(Bilden denn ungerade Zahlen eine additive Untergruppe von [mm] \IZ). [/mm] Außerdem ist das Produkt von ungerader und Gerader Zahl wieder gerade, also nicht in [mm] (2k+1)\IZ [/mm]
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