Ideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 So 12.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten morgen!
Ich habe eine kurze Zwischenfrage zum Thema Ideale.
Eine Bemerkung besagt:
Es gilt stets [mm] \mathfrak {a } \cdot \mathfrak {b} \subset \mathfrak {a} \cap \mathfrak { b } [/mm] für zwei Ideale [mm] \mathfrak {a , b } [/mm]
Das läuchtet mir nicht ganz ein, denn ist die Menge
[mm] \mathfrak {a } \cdot \mathfrak {b} = \{ \summe_{i = 1 }^{ < \infty } a_i b_i \ | \ a_i \in \mathfrak {a}, b_i \in \mathkrak {b} \} [/mm] nicht eigentlich größer ,als die Menge
[mm] \mathfrak {a} \cap \mathfrak { b } = \{ x \ | \ x \in\mathfrak {a} \ und \ x \in \mathfrak {b} \}[/mm] .
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo,
das liegt an der Ideal-Eigenschaft:
Sei [mm] $x=ab\in\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ [/mm] mit [mm] $a\in\mathfrak{a}$ [/mm] und [mm] $b\in\mathfrak{b}$. [/mm] Weil [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] ein Ideal ist, gilt [mm] $ab\in\mathfrak{a}$. [/mm] Analog, wegen der Ideal-Eigenschaft von [mm] $\mathfrak{b}$, [/mm] ist auch [mm] $ab\in\mathfrak{b}$. [/mm] Damit gilt insgesamt [mm] $ab=x\in\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}$.
[/mm]
Also [mm] $\mathfrak{a}\mathfrak{b}\subseteq\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 12.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für die Antwort!
Viele Grüße
Irmchen
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