Ideal von Ring/Körper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Mi 15.06.2005 | | Autor: | mariposa |
Hi ihr,
ich möchte zeigen, dass ein kommutativer Ring R mit 1 genau dann ein Körper ist, wenn er nur die Ideale (0) und R besitzt.
Bis jetzt habe ich es geschafft zu zeigen, dass alle Hauptideale ganz R sind, wenn es ein multiplikatives Inverses gibt, aber wie zeige ich das für die Ideale, die keine Hauptideale sind.
Und wie zeige ich den umgekehrten Weg?
Vielen Dank
Maike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Maike!
Ein Ideal $I [mm] \subset [/mm] R$ mit
$0 [mm] \subsetneq [/mm] I [mm] \subsetneq [/mm] R$
enthält ein Element $x [mm] \in [/mm] R$ mit [mm] $x\ne [/mm] 0$. Dann existiert, da $R$ ein Körper ist, das Inverse [mm] $x^{-1}$ [/mm] in $R$ und wir erhalten auf Grund der Eigenschaft eines Ideals:
$1 = [mm] \underbrace{x^{-1}}_{\in R} \cdot \underbrace{x}_{\in I} \in [/mm] I$.
Jetzt sei $r [mm] \in [/mm] R$ beliebig gewählt. Dann gilt:
$r = [mm] \underbrace{r}_{\in R} \cdot \underbrace{1}_{\in I} \in [/mm] I$,
also: $R =I$, Widerspruch.
Zur Umkehrung: Nach Voraussetzung ist $0$ ein maximales Ideal und damit $R/0 [mm] \cong [/mm] R$ ein Körper.
Viele Grüße
Julius
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