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| Aufgabe | Es sei [mm]\IR [X][/mm] der Polynomring über [mm]\IR[/mm] und [mm]I=(X^2+1)\IR [X][/mm].
a) Weisen Sie nach, dass I ein Ideal ist.
b) Zeigen Sie, dass I sogar ein Primideal ist
c) Es sei [mm]\alpha =X+I\in\IR [X]/I[/mm]. Berechnen Sie [mm]\alpha^2, \alpha^3, \alpha^4[/mm] |
Hallo!
Ich glaube die Aufgabe ist an sich nicht wirklich schwer, aber ich habe leider keine Vorstellung davon, welche Form die Elemente von I haben. Die Frage ist wohl ziemlich doof, aber könnte mir vielleicht jemand ein Beispiel nennen?
Vielen Dank
Couldbeworse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Es sei [mm]\IR [X][/mm] der Polynomring über [mm]\IR[/mm] und [mm]I=(X^2+1)\IR [X][/mm].
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> a) Weisen Sie nach, dass I ein Ideal ist.
> b) Zeigen Sie, dass I sogar ein Primideal ist
> c) Es sei [mm]\alpha =X+I\in\IR [X]/I[/mm]. Berechnen Sie [mm]\alpha^2, \alpha^3, \alpha^4[/mm]
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> Hallo!
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> Ich glaube die Aufgabe ist an sich nicht wirklich schwer,
> aber ich habe leider keine Vorstellung davon, welche Form
> die Elemente von I haben. Die Frage ist wohl ziemlich doof,
> aber könnte mir vielleicht jemand ein Beispiel nennen?
Die Elemente von I haben allgemein die Form [mm] $g(X)\cdot (X^2+1)$ [/mm] mit $g(X) [mm] \in \IR[X]$ [/mm] beliebig. Beispiele wären:
[mm] $X^2+1$ [/mm] mit $g(X) = 1$
[mm] $2X^2+2$ [/mm] mit $g(X) =2$
[mm] $(X^3+5X^2+\sqrt{42})(X^2+1)$ [/mm] mit $g(X) = [mm] X^3+5X^2+\sqrt{42}$
[/mm]
Also einfach alle Vielfachen des Polynoms [mm] $X^2+1$
[/mm]
Du musst ja zeigen, dass das Ideal abgeschlossen ist unter Addition zweier Elemente aus dem Ideal und unter Multiplikation mit Elementen aus dem ganzen Ring, d.h. du musst zeigen dass die Summe zweier Vielfacher von [mm] $X^2+1$ [/mm] wieder ein solches Vielfaches ist und dass ein Vielfaches von [mm] $X^2+1$ [/mm] multipliziert mit einem beliebigen Polynom wieder ein Vielfaches von [mm] $X^2+1$ [/mm] ist.
LG Lippel
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Vielen Dank, dann ist alles klar!
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