Ideal Äquivalenz zeigen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | R Ring, [mm] A\subset [/mm] R. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(1) A ist ein Ideal von R
(2) Es gibt einen Ring S und einen Ringhomomorphismus [mm] \phi:R\to [/mm] S, so dass A = [mm] Kern(\phi).
[/mm]
(3) Es gibt eine Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] auf R mit [mm] $r\sim s\Rightarrow r+t\sim [/mm] s+t$ und $r*t [mm] \sim [/mm] s*t$ für alle [mm] $r,s,t\in [/mm] R$, so dass $A = [mm] \overline{0}$ (\overline{0} [/mm] bezeichne die Äquivalenzklasse von 0 bzgl. [mm] \sim [/mm] ) |
Hallo!
Meine Probleme liegen bei [mm] $(2)\Rightarrow [/mm] (3)$ bzw. [mm] $(3)\Rightarrow [/mm] (2)$.
Ich habe [mm] $(3)\Rightarrow [/mm] (2)$ versucht:
Ich definiere als den Ring S die Menge aller Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] aus (3), und wähle als Ringhomomorphismus [mm] $\phi:R\to [/mm] S, [mm] x\mapsto \overline{x}$.
[/mm]
Dann ist [mm] $Kern(\phi) [/mm] = [mm] \phi^{-1}(\overline{0}) [/mm] = [mm] \{r\in R: \phi(r) = \overline{r} = \overline{0}\} [/mm] = [mm] \{r\in R: r\sim 0\} [/mm] = [mm] \overline{0} [/mm] = A$.
Kann man das so schreiben? Das [mm] \overline{0} [/mm] wundert mich, weil wir uns ja "zwischen den Gleichheitszeichen" in R bewegen müssten.
Nun muss ich noch zeigen, dass [mm] \phi [/mm] ein Ringhomomorphismus ist.
- [mm] $\phi(1) [/mm] = [mm] \overline{1}$. [/mm] Reicht das, oder muss noch gezeigt werden, dass [mm] \overline{1} [/mm] überhaupt neutrales Element von S ist?
- [mm] $\phi(a) [/mm] + [mm] \phi(b) [/mm] = [mm] \overline{a} [/mm] + [mm] \overline{b} [/mm] = [mm] \{x\in R: x\sim a\} [/mm] + [mm] \{y\in R: y\sim b\} [/mm] = [mm] \{x+y|x,y\in R, x\sim a, y\sim b\}$
[/mm]
[mm] $\phi(a+b) [/mm] = [mm] \overline{a+b} [/mm] = [mm] \{z\in R: z\sim a+b\}$.
[/mm]
[mm] $\phi(a+b) \subset \phi(a) [/mm] + [mm] \phi(b)$: [/mm] Sei [mm] $z\in \phi(a+b)$, [/mm] d.h [mm] $z\sim [/mm] a+b$. Dann folgt $z-a [mm] \sim [/mm] b$ aufgrund der zusätzlichen Eigenschaft von [mm] \sim. [/mm] Damit gilt z = [mm] \underline{(z-a)}_{\sim b} [/mm] + [mm] \underline{a}_{\sim a}, [/mm] und somit [mm] $z\in \phi(a) [/mm] + [mm] \phi(b)$.
[/mm]
[mm] $\phi(a) [/mm] + [mm] \phi(b) \subset \phi(a+b)$: [/mm] Sei [mm] $z\in \phi(a) [/mm] + [mm] \phi(b)$, [/mm] d.h $z = x+y$ mit [mm] $x\sim [/mm] a$, [mm] $y\sim [/mm] b$. Daraus folgt mit der zusätzlichen Eigenschaft von [mm] \sim: [/mm] $x+y [mm] \sim [/mm] a+y$ und [mm] $a+y\sim [/mm] a+b$. Mit der Reflexivität folgt: $z = [mm] x+y\sim [/mm] a+b$, also [mm] $z\in \phi(a+b)$.
[/mm]
- [mm] $\phi(a)*\phi(b) [/mm] = [mm] \overline{a}*\overline{b}
[/mm]
Jetzt habe ich ja ein Produkt von zwei Mengen... Was soll ich jetzt machen?
Oder muss ich das alles gar nicht machen? Warum nicht?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 So 20.06.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Stefan,
ich kann dir zwar leider nicht sagen, ob dein Beweis richig oder falsch ist, aber ich würde an deiner Stelle dei Äquivalenz von (1) und (2) sowie von (2) und (3) zeigen, dann folgt die Äquivalenz von (2) und (3) ja automatisch.
Für [mm] (1)$\Rightarrow$(2) [/mm] wähle [mm] $\phi:R\to{R/{\mathfrak{a}}},r\mapsto{\bar{r}}$.
[/mm]
Für [mm] (1)$\Rightarrow$(3) [/mm] wähle [mm] $r\sim{s}\gdw{r-s}\in\mathfrak{a}$
[/mm]
Die Rückrichtungen sind jeweils nicht so schwierig.
Viele Grüße, Lippel
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Hallo Lippel,
danke für den Hinweis!
Das mit den zwei Äquivalenzen zeigen war mir auch schon in den Sinn gekommen, und das geht natürlich auch gut.
Ich bin aber daran interessiert, ob es auch einen direkten Weg für [mm] $(2)\Rightarrow [/mm] (3)$ oder umgekehrt gibt 
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mo 21.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> R Ring, [mm]A\subset[/mm] R. Zeige, dass folgende Aussagen
> äquivalent sind:
> (1) A ist ein Ideal von R
> (2) Es gibt einen Ring S und einen Ringhomomorphismus
> [mm]\phi:R\to[/mm] S, so dass A = [mm]Kern(\phi).[/mm]
> (3) Es gibt eine Äquivalenzrelation [mm]\sim[/mm] auf R mit [mm]r\sim s\Rightarrow r+t\sim s+t[/mm]
> und [mm]r*t \sim s*t[/mm] für alle [mm]r,s,t\in R[/mm], so dass [mm]A = \overline{0}[/mm]
> [mm](\overline{0}[/mm] bezeichne die Äquivalenzklasse von 0 bzgl.
> [mm]\sim[/mm] )
> Hallo!
>
> Meine Probleme liegen bei [mm](2)\Rightarrow (3)[/mm] bzw.
> [mm](3)\Rightarrow (2)[/mm].
>
> Ich habe [mm](3)\Rightarrow (2)[/mm] versucht:
> Ich definiere als den Ring S die Menge aller
> Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation [mm]\sim[/mm] aus (3),
> und wähle als Ringhomomorphismus [mm]\phi:R\to S, x\mapsto \overline{x}[/mm].
>
> Dann ist [mm]Kern(\phi) = \phi^{-1}(\overline{0}) = \{r\in R: \phi(r) = \overline{r} = \overline{0}\} = \{r\in R: r\sim 0\} = \overline{0} = A[/mm].
Genau.
> Kann man das so schreiben?
Das ist schon in Ordnung so.
> Das [mm]\overline{0}[/mm] wundert mich,
> weil wir uns ja "zwischen den Gleichheitszeichen" in R
> bewegen müssten.
Das verstehe ich jetzt nicht ganz...
> Nun muss ich noch zeigen, dass [mm]\phi[/mm] ein Ringhomomorphismus
> ist.
Und dass $S$ ueberhaupt ein Ring ist! (Und wie die Ringoperationen auf $S$ ueberhaupt aussehen.)
> - [mm]\phi(1) = \overline{1}[/mm]. Reicht das, oder muss noch
> gezeigt werden, dass [mm]\overline{1}[/mm] überhaupt neutrales
> Element von S ist?
Ja. Du musst ueberhaupt erst zeigen, dass $S$ ein Ring ist. Das ist der wichtigste Teil vom ganzen, dass [mm] $\phi$ [/mm] ein Ringhomomorphismus ist folgt ziemlich schnell aus der Definition der Operationen auf $S$.
> - [mm]\phi(a) + \phi(b) = \overline{a} + \overline{b} = \{x\in R: x\sim a\} + \{y\in R: y\sim b\} = \{x+y|x,y\in R, x\sim a, y\sim b\}[/mm]
Du kannst die Operation $+$ auf $S$ natuerlich als elementweise Addition der Mengen definieren, das funktioniert hier sogar da [mm] $\sim$ [/mm] eine Kongruenzrelation auf $(R, +)$ ist und $(R, +)$ eine Gruppe.
Aber mach es doch lieber so, wie du zeigst, dass $R/A$ ein Ring ist. Es ist eigentlich exakt das gleiche.
> [mm]\phi(a+b) = \overline{a+b} = \{z\in R: z\sim a+b\}[/mm].
>
> [mm]\phi(a+b) \subset \phi(a) + \phi(b)[/mm]: Sei [mm]z\in \phi(a+b)[/mm],
> d.h [mm]z\sim a+b[/mm]. Dann folgt [mm]z-a \sim b[/mm] aufgrund der
> zusätzlichen Eigenschaft von [mm]\sim.[/mm] Damit gilt z =
> [mm]\underline{(z-a)}_{\sim b}[/mm] + [mm]\underline{a}_{\sim a},[/mm] und
> somit [mm]z\in \phi(a) + \phi(b)[/mm].
> [mm]\phi(a) + \phi(b) \subset \phi(a+b)[/mm]:
> Sei [mm]z\in \phi(a) + \phi(b)[/mm], d.h [mm]z = x+y[/mm] mit [mm]x\sim a[/mm], [mm]y\sim b[/mm].
> Daraus folgt mit der zusätzlichen Eigenschaft von [mm]\sim:[/mm]
> [mm]x+y \sim a+y[/mm] und [mm]a+y\sim a+b[/mm]. Mit der Reflexivität folgt:
> [mm]z = x+y\sim a+b[/mm], also [mm]z\in \phi(a+b)[/mm].
Das ist sehr kompliziert, ich hab es mir nicht genau durchgelesen. Wie schon oben gesagt: ueberlege dir erst, wie du die Operationen auf $S$ ueberhaupt definierst, bevor du anfaengst loszurechnen!
> - [mm]$\phi(a)*\phi(b)[/mm] = [mm]\overline{a}*\overline{b}[/mm]
>
> Jetzt habe ich ja ein Produkt von zwei Mengen... Was soll
> ich jetzt machen?
Das klappt im allgemeinen gar nicht (da $(S, [mm] \cdot)$ [/mm] keine Gruppe ist). Du musst hier schon die Multiplikation auf $S$ richtig definieren!
Die Rueckrichtung (2) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (3) ist auch nicht so schwer, definiere $a [mm] \sim [/mm] b [mm] :\Leftrightarrow \phi(a) [/mm] = [mm] \phi(b)$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort!
> Ja. Du musst ueberhaupt erst zeigen, dass [mm]S[/mm] ein Ring ist.
> Das ist der wichtigste Teil vom ganzen, dass [mm]\phi[/mm] ein
> Ringhomomorphismus ist folgt ziemlich schnell aus der
> Definition der Operationen auf [mm]S[/mm].
Also würde ich definieren:
Addition: [mm] $\overline{a}+\overline{b} [/mm] = [mm] \overline{a+b}$
[/mm]
Multiplikation: [mm] $\overline{a}*\overline{b} [/mm] = [mm] \overline{a*b}$
[/mm]
(Wie in unserem Hefter - ist das öde )
> Die Rueckrichtung (2) [mm]\Rightarrow[/mm] (3) ist auch nicht so
> schwer, definiere [mm]a \sim b :\Leftrightarrow \phi(a) = \phi(b)[/mm].
Danke für die Tipps!
Grüße,
Stefan
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Kongruenzrelation