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Ideal: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 Mi 14.12.2011
Autor: chesn

Aufgabe
Sei R ein kommutativer Ring.

(i) Es seien S [mm] \subseteq [/mm] R eine Teilmenge und I, J [mm] \lhd [/mm] R zwei Ideale. Zeige: dann sind auch <S>_R, I+J und I*J Ideale in R.

(ii) Sei I [mm] \lhd [/mm] R ein Ideal. Die Menge

     [mm] \wurzel{I}=\{r \in R \ | \ \exists n \in N : r^n\in I\} [/mm]

heißt Radikal von I. Zeigen Sie, dass das Radikal wieder ein Ideal ist.

Hallo! Bitte um Korrektur, da ich mir teilweise nicht ganz sicher war...

(i) Zu <S>_R:

Es ist $ [mm] _R=\bigcap_{J \ Ideal \ von \ R} [/mm] J $ also der Durchschnitt alle Ideale aus R. (?) Dann ist auch 0 [mm] \in [/mm] <S>_R denn 0 liegt in jedem Ideal, also auch im Schnitt.

Weiter seien a,b [mm] \in [/mm] <S>_R dann sind a und b aus dem Schnitt der Ideale und es folgt direkt auch a-b [mm] \in [/mm] <S>_R.

Für a [mm] \in [/mm] <S>_R und r [mm] \in [/mm] R gilt: a*r [mm] \in [/mm] <S>_R (dann a ist im Schnitt aller J, für die gilt a*r [mm] \in [/mm] J)

Zu I+J:

Es ist $ 0 [mm] \in [/mm] I $ und $ 0 [mm] \in [/mm] J $, also $ 0+0 [mm] \in [/mm] I+J [mm] \gdw 0\in [/mm] I+J$

Seien a,b [mm] \in [/mm] I und c,d [mm] \in [/mm] J. Dann ist a+c [mm] \in [/mm] I+J und b+d [mm] \in [/mm] I+J und es gilt:
(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) [mm] \in [/mm] I+J (?)

Sei r*a [mm] \in [/mm] I und r*b [mm] \in [/mm] J, dann ist r*a+r*b=r(a+b) [mm] \in [/mm] I+J.

Zu I*J:

Mit 0 [mm] \in [/mm] J und 0 [mm] \in [/mm] I ist 0*0 [mm] \in [/mm] I*J [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \in [/mm] I*J.

Mit a,b [mm] \in [/mm] I und c,d [mm] \in [/mm] J ist (a-b)*(c-d)=ac-ad-bc+bd [mm] \in [/mm] I*J (hier hab ich grad selbst keine ahnung was ich gemacht hab, komm auch grad auf nichts anderes).

r*a [mm] \in [/mm] I und r*b [mm] \in [/mm] J [mm] \gdw [/mm] (r*a)*(r*b)=r(a*b) [mm] \in [/mm] I*J

(ii) Es ist I ein Ideal. Mit 0 [mm] \in [/mm] I folgt auch 0 [mm] \in \wurzel{I} [/mm] wegen [mm] 0^n=0. [/mm]

a,b [mm] \in \wurzel{I} [/mm] => [mm] a^n \in [/mm] I, [mm] b^k \in [/mm] I => [mm] \exists [/mm] l [mm] \in \IN [/mm] : [mm] (a-b)^l \in \wurzel{I} \gdw [/mm] a-b [mm] \in \wurzel{I} [/mm]

r*a [mm] \in [/mm] I => [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] a^n\in [/mm] I => [mm] r*a^n\in [/mm] I => r*a [mm] \in \wurzel{I} [/mm]

So, denke dass es da einiges zu verbessern gibt.. weiss es im moment nicht besser. ;)

Dankeschön schonmal!





        
Bezug
Ideal: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Mi 14.12.2011
Autor: wieschoo


> Sei R ein kommutativer Ring.
>  
> (i) Es seien S [mm]\subseteq[/mm] R eine Teilmenge und I, J [mm]\lhd[/mm] R
> zwei Ideale. Zeige: dann sind auch [mm]s_R[/mm], I+J und I*J
> Ideale in R.
>  
> (ii) Sei I [mm]\lhd[/mm] R ein Ideal. Die Menge
>  
> [mm]\wurzel{I}=\{r \in R \ | \ \exists n \in N : r^n\in I\}[/mm]
>  
> heißt Radikal von I. Zeigen Sie, dass das Radikal wieder
> ein Ideal ist.
>  Hallo! Bitte um Korrektur, da ich mir teilweise nicht ganz
> sicher war...
>  
> (i) Zu [mm] s_r: [/mm]
> Es ist [mm]s_R=\bigcap_{J \ Ideal \ von \ R} J[/mm] also der
> Durchschnitt alle Ideale aus R. (?) Dann ist auch 0 [mm]\in[/mm]
> [mm] s_R [/mm] denn 0 liegt in jedem Ideal, also auch im Schnitt.

[ok]

>  
> Weiter seien a,b [mm]\in[/mm] [mm] s_R [/mm] dann sind a und b aus dem

und es gilt [mm]a-b\in I_k[/mm] für alle k

> Schnitt der Ideale und es folgt direkt auch a-b [mm]\in[/mm] [mm] s_R. [/mm]
>  
> Für a [mm]\in[/mm] [mm] s_R [/mm] und r [mm]\in[/mm] R gilt: a*r [mm]\in[/mm] [mm] s_R [/mm] (dann a
> ist im Schnitt aller J, für die gilt a*r [mm]\in[/mm] J)

ja genau

>  
> Zu I+J:
>  
> Es ist [mm]0 \in I[/mm] und [mm]0 \in J [/mm], also [mm]0+0 \in I+J \gdw 0\in I+J[/mm]

[ok]

>  
> Seien a,b [mm]\in[/mm] I und c,d [mm]\in[/mm] J. Dann ist a+c [mm]\in[/mm] I+J und b+d
> [mm]\in[/mm] I+J und es gilt:
>  (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) [mm]\in[/mm] I+J (?)

doch stimmt, setze a+c=:e und b+d=:f damit passt die Definition von der Summe.

>  
> Sei r*a [mm]\in[/mm] I und r*b [mm]\in[/mm] J, dann ist r*a+r*b=r(a+b) [mm]\in[/mm]
> I+J.

Genau!

>  
> Zu I*J:
>  
> Mit 0 [mm]\in[/mm] J und 0 [mm]\in[/mm] I ist 0*0 [mm]\in[/mm] I*J [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\in[/mm] I*J.

ja per Definition

>  
> Mit a,b [mm]\in[/mm] I und c,d [mm]\in[/mm] J ist (a-b)*(c-d)=ac-ad-bc+bd [mm]\in[/mm]
> I*J (hier hab ich grad selbst keine ahnung was ich gemacht
> hab, komm auch grad auf nichts anderes).
>  
> r*a [mm]\in[/mm] I und r*b [mm]\in[/mm] J [mm]\gdw[/mm] (r*a)*(r*b)=r(a*b) [mm]\in[/mm] I*J

[mm]=r^2(a*b)[/mm]

>  
> (ii) Es ist I ein Ideal. Mit 0 [mm]\in[/mm] I folgt auch 0 [mm]\in \wurzel{I}[/mm]
> wegen [mm]0^n=0.[/mm]

Stimmt

>  
> a,b [mm]\in \wurzel{I}[/mm] => [mm]a^n \in[/mm] I, [mm]b^k \in[/mm] I => [mm]\exists[/mm] l [mm]\in \IN[/mm]

[ok]

> : [mm](a-b)^l \in \wurzel{I} \gdw[/mm] a-b [mm]\in \wurzel{I}[/mm]

Genau
[mm](a-b)^{n+k}=\sum_{i=1}^{n+k}\binom{n+k}{i}(-1)^a^{n+m-i}b^i[/mm]

Für [mm]i\geq n[/mm] ist [mm]a^n\in I[/mm]
Für [mm]i\leq n[/mm] ....

>  
> r*a [mm]\in[/mm] I => [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : [mm]a^n\in[/mm] I => [mm]r*a^n\in[/mm] I =>
> r*a [mm]\in \wurzel{I}[/mm]

Hier musst du auch die Potenz [mm]r^n[/mm] mitschleppen

>  
> So, denke dass es da einiges zu verbessern gibt.. weiss es
> im moment nicht besser. ;)
>  
> Dankeschön schonmal!
>
>
>
>  

Da ich weg muss habe ich es nur als Mitteilung


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