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| Aufgabe | | Gebe ein Beispiel zweier auf einem Gebiet G holomorpher Funktionen f und g, deren Übereinstimmungsmenge {z [mm] \in [/mm] G| f(z)=g(z)} einen Häufungspunkt besitzt, obwohl f und g nicht ganz in G übereinstimmen. Weshalb widerspricht das nicht dem Identitätssatz? |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe einfach nicht auf ein gutes Beispiel. Als Tipp sollte ich mir die Funktion [mm] \sin(\bruch{1}{z}) [/mm] anschauen. Diese ist ja nur auf [mm] \IC-{0} [/mm] holomorph. Und hat bei 0 ihren Häuf.punkt,richtig?
Ich weiß nicht, wie ich bei der Aufgabe vorzugehen habe.
Kann mir da jmd. weiterhelfen?
Der Id.satz sagt ja aus, dass diese zwei holom.Funktionen f,g: G [mm] \to \IC [/mm] auf einer Teilmenge von G, die in G einen Häuf.punkt hat, übereinstimmen. Dann folgt bereits daraus, dass f = g auf ganz G ist.
Vielen Dank!
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Mi 09.05.2007 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Anna!
> Gebe ein Beispiel zweier auf einem Gebiet G holomorpher
> Funktionen f und g, deren Übereinstimmungsmenge {z [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G|
> f(z)=g(z)} einen Häufungspunkt besitzt, obwohl f und g
> nicht ganz in G übereinstimmen. Weshalb widerspricht das
> nicht dem Identitätssatz?
Damit es dem Identitaetssatz nicht widerspricht, muss der Haeufungspunkt auf dem Rand von $G$ liegen (und entweder $f$ oder $g$ kann nicht dorthin holomorph fortgesetzt werden).
> Hallo,
> ich komme bei der Aufgabe einfach nicht auf ein gutes
> Beispiel. Als Tipp sollte ich mir die Funktion
> [mm]\sin(\bruch{1}{z})[/mm] anschauen. Diese ist ja nur auf [mm]\IC-{0}[/mm]
> holomorph.
Genau, und sie hat in $0$ eine wesentliche Singularitaet, kann also nicht dorthin fortgesetzt werden. Das sind schonmal gute Voraussetzungen :)
Sei $f(z) := [mm] \sin \frac{1}{z}$.
[/mm]
> Und hat bei 0 ihren Häuf.punkt,richtig?
Wer, die Funktion? Funktionen haben i.A. keine Haeufungspunkte; nur Folgen haben welche.
Du brauchst eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \in \IC \setminus \{ 0 \}$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] und eine weitere holomorphe Funktion $g$ (auf [mm] $\IC \setminus \{ 0 \}$) [/mm] mit [mm] $f(x_n) [/mm] = [mm] g(x_n)$ [/mm] fuer alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Ein Hinweis dafuer: wo hat $f$ Nullstellen? Finde doch eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ so, dass [mm] $f(x_n) [/mm] = 0$ ist fuer jedes $n$. Dann kannst du fuer $g$ die Nullfunktion nehmen.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deinen Hinweis.
> Damit es dem Identitaetssatz nicht widerspricht, muss der
> Haeufungspunkt auf dem Rand von [mm]G[/mm] liegen (und entweder [mm]f[/mm]
> oder [mm]g[/mm] kann nicht dorthin holomorph fortgesetzt werden).
> Sei [mm]f(z) := \sin \frac{1}{z}[/mm].
>
> Du brauchst eine Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x_n \in \IC \setminus \{ 0 \}[/mm]
> mit [mm]x_n \to 0[/mm] fuer [mm]n \to \infty[/mm] und eine weitere holomorphe
> Funktion [mm]g[/mm] (auf [mm]\IC \setminus \{ 0 \}[/mm]) mit [mm]f(x_n) = g(x_n)[/mm]
> fuer alle [mm]n \in \IN[/mm].
>
> Ein Hinweis dafuer: wo hat [mm]f[/mm] Nullstellen? Finde doch eine
> Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x_n \to 0[/mm] so, dass [mm]f(x_n) = 0[/mm] ist
> fuer jedes [mm]n[/mm]. Dann kannst du fuer [mm]g[/mm] die Nullfunktion
> nehmen.
Mit dem Hinweis konnte ich was anfangen. f hat seine Nullstellen genau an den Stellen [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{k*\pi}}, [/mm] dann dann gilt ja: [mm] \sin \bruch{1}{\bruch{1}{k*\pi}} [/mm] = [mm] \sin k*\pi=0 [/mm] für k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Für g soll ich die Nullfunktion nehmen, also g [mm] \equiv [/mm] 0.
Aber wie finde ich jetzt die Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN}[/mm] [/mm] mit [mm]x_n \to 0[/mm] so, dass [mm]f(x_n) = 0[/mm] ist
> fuer jedes [mm]n[/mm]?
Und wie kann ich den Häufungspunkt nun bestimmen?
Vielen Dank.
Milka.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Do 10.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> > Damit es dem Identitaetssatz nicht widerspricht, muss der
> > Haeufungspunkt auf dem Rand von [mm]G[/mm] liegen (und entweder [mm]f[/mm]
> > oder [mm]g[/mm] kann nicht dorthin holomorph fortgesetzt werden).
>
> > Sei [mm]f(z) := \sin \frac{1}{z}[/mm].
> >
>
> > Du brauchst eine Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x_n \in \IC \setminus \{ 0 \}[/mm]
> > mit [mm]x_n \to 0[/mm] fuer [mm]n \to \infty[/mm] und eine weitere holomorphe
> > Funktion [mm]g[/mm] (auf [mm]\IC \setminus \{ 0 \}[/mm]) mit [mm]f(x_n) = g(x_n)[/mm]
> > fuer alle [mm]n \in \IN[/mm].
> >
> > Ein Hinweis dafuer: wo hat [mm]f[/mm] Nullstellen? Finde doch eine
> > Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x_n \to 0[/mm] so, dass [mm]f(x_n) = 0[/mm] ist
> > fuer jedes [mm]n[/mm]. Dann kannst du fuer [mm]g[/mm] die Nullfunktion
> > nehmen.
>
> Mit dem Hinweis konnte ich was anfangen. f hat seine
> Nullstellen genau an den Stellen
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{k*\pi}},[/mm] dann dann gilt ja:
du meinst [mm] $\frac{1}{k \pi}$
[/mm]
> [mm]\sin \bruch{1}{\bruch{1}{k*\pi}}[/mm]
> = [mm]\sin k*\pi=0[/mm] für k [mm]\in \IZ.[/mm]
> Für g soll ich die
> Nullfunktion nehmen, also g [mm]\equiv[/mm] 0.
Genau.
> Aber wie finde ich jetzt die Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm][/mm] mit [mm]x_n \to 0[/mm]
> so, dass [mm]f(x_n) = 0[/mm] ist
> > fuer jedes [mm]n[/mm]?
> Und wie kann ich den Häufungspunkt nun bestimmen?
Die hast du doch eigentlich schon: nimm doch [mm] $x_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n \pi}$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN_{>0}$.
[/mm]
LG Felix
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