\IQ dicht in \IR < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Menge der rationalen Zahlen [mm] \IQ [/mm] liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen [mm] \IR [/mm] |
naja das is keine frage, mein problem ist nach definition auf wikipedia von dichten mengen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Dicht_%28Mathematik%29
gibs die bedingungen
1. Der Abschluss von M stimmt mit X überein.(so haben wir es gelernt, ist am bsp auch ganz klar)
...
3.Jede Umgebung in X enthält einen Punkt aus M.
[mm] \Rightarrow [/mm] jede Umgebung von [mm] \IR [/mm] enthält einen Punkt aus [mm] \IQ,
[/mm]
aber bekanntlich gibt es doch unendlich viele punkte [mm] \not\in \IQ [/mm] zwischen zwei punkte [mm] \in \IQ
[/mm]
also warum gibt es denn jetzt keine umgebung ohne einen punkt aus [mm] \IQ??
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mi 21.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Die Menge der rationalen Zahlen [mm]\IQ[/mm] liegt dicht in der
> Menge der reellen Zahlen [mm]\IR[/mm]
> naja das is keine frage, mein problem ist nach definition
> auf wikipedia von dichten mengen:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Dicht_%28Mathematik%29
> gibs die bedingungen
> 1. Der Abschluss von M stimmt mit X überein.(so haben wir
> es gelernt, ist am bsp auch ganz klar)
> ...
> 3.Jede Umgebung in X enthält einen Punkt aus M.
> [mm]\Rightarrow[/mm] jede Umgebung von [mm]\IR[/mm] enthält einen Punkt aus
> [mm]\IQ,[/mm]
> aber bekanntlich gibt es doch unendlich viele punkte
> [mm]\not\in \IQ[/mm] zwischen zwei punkte [mm]\in \IQ[/mm]
> also warum gibt
> es denn jetzt keine umgebung ohne einen punkt aus [mm]\IQ??[/mm]
Sind a,b [mm] \in \IR [/mm] , und a<b, so liegen unendlich viele rationale Zahlen zwischen a und b , aber es liegen auch unendlich viele irrationale Zahlen zwischen a und b
FRED
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so dann versuch ich mich mal klarer auszudrücken
es seien a,b [mm] \in\IQ, [/mm] sodass a<b und es existiert kein c [mm] \not=a,c\not=b [/mm] sodass gilt a [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] b
weiter sei [mm] \delta<\bruch{b-a}{2}, \delta \not\in \IQ
[/mm]
so meine frage, ex denn jetzt kein [mm] U_{\delta}(\bruch{b-a}{2})[problem [/mm] wäre noch die stelle der umgebung, denn [mm] \bruch{b-a}{2} [/mm] wäre rational]
aber ich hoffe meine frage ist jetzt klar?
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> so dann versuch ich mich mal klarer auszudrücken
> es seien a,b [mm]\in\IQ,[/mm] sodass a<b und es existiert kein c
> [mm]\not=a,c\not=b[/mm] sodass gilt a [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm] b
> weiter sei [mm]\delta<\bruch{b-a}{2}, \delta \not\in \IQ[/mm]
> so
> meine frage, ex denn jetzt kein
> [mm]U_{\delta}(\bruch{b-a}{2})[problem[/mm] wäre noch die stelle
> der umgebung, denn [mm]\bruch{b-a}{2}[/mm] wäre rational]
> aber ich hoffe meine frage ist jetzt klar?
>
Hallo,
ganz sicher bin ich nicht, ob ich Dein Anliegen richtig verstehe, deshalb wiederhole ich Deine Frage nochmal in eigenen Worten:
Du nimmst zwei rationale Zahlen a und b, und Du möchtest wissen, ob man innerhalb des Intervalls (a,b) nicht vielleicht doch eine [mm] \delta-Umgebung [/mm] irgendeiner zahl findet, die keine rationale Zahl enthält, wenn man denn das [mm] \delta [/mm] geschickt genug, auf jeden Fall irrational, wählt.
Mit Deinem Vorschlag, eine passende [mm] \delta-Umgebung [/mm] von [mm] \bruch{b-a}{2} [/mm] zu suchen, scheiterst Du natürlich sofort, denn es ist ja die rationale Zahl [mm] \bruch{b-a}{2} [/mm] in dieser Umgebung enthalten - auch wenn Dein [mm] \delta [/mm] irrational ist.
Du müßtest also wenn überhaupt eine Zahl [mm] r\in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] für dieses Unterfangen wählen.
Nun ist es so, daß es zu jeder reellen Zahl r eine rationale Cauchyfolge gibt, die gegen r konvergiert (- eventuell habt Ihr die reellen Zahlen auf diesem Wege eingeführt.), und damit gibt es zu jeder reellen Zahl rationale Zahlen, die den Abstand [mm] \delta [/mm] unterschreiten.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Kinghenni |
-frage richtig verstanden
-konstruktion richtig verstanden
die antwort war wirklich sehr gut, hatte ja wirklich probleme bei der konstruktion
ich kann es mir einfach nur nicht vorstellen das es so ist, aber es ist ja bewiesen
vielen dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mi 21.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> -frage richtig verstanden
> -konstruktion richtig verstanden
Warum warst Du dann mit meiner Antwort
"Sind a,b $ [mm] \in \IR [/mm] $ , und a<b, so liegen unendlich viele rationale Zahlen zwischen a und b , aber es liegen auch unendlich viele irrationale Zahlen zwischen a und b "
nicht zufrieden ??
FRED
> die antwort war wirklich sehr gut, hatte ja wirklich
> probleme bei der konstruktion
> ich kann es mir einfach nur nicht vorstellen das es so
> ist, aber es ist ja bewiesen
> vielen dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Do 22.10.2009 | | Autor: | Kinghenni |
naja ich hab ja gewusst das es unendlich viele irrationale zahlen zwischen a und b liegen, aber die frage war ja eben ob sie so beinander liegen das sich damit eine umgebung bilden lässt in der eben keine rationale drin liegen
für mich kam das in etwa so rüber:
in der menge der ganzen zahlen gibt es unendlich viele positive und unendlich viele negative zahlen, daraus folgt das es keine umgebung gibt in der es nur positive zahlen gibt
aber das ist ja ganz klar falsch
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