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| Aufgabe | a,b,c positiv und reel
[mm] \bruch{a}{ \wurzel{(a+b)(a+c)}}+ \bruch{b}{ \wurzel{(b+a)(b+c)}}+ \bruch{c}{ \wurzel{(c+a)(c+b)}} \le\bruch{3}{2} [/mm] |
Hallo,
diese Ungleichung soll bewiesen werden. Den Beweis weiß ich inzwischen, aber ich habe es auch schon geschafft das Gegenteil zu beweisen??? Ich finde den Fehler in diesem Beweis einfach nicht.
Term mit [mm] \wurzel{(a+b)(a+c)(b+c)} [/mm] multiplizieren
[mm] \to a\wurzel{b+c}+b\wurzel{a+c}+c\wurzel{a+b}\le\bruch{3\wurzel{(a+b)(a+c)(b+c)}}{2}
[/mm]
Jetzt kommt ein Einzelvergleich der Elemente.
Mit 2 multiplizieren + Quadrieren.
[mm] \to4a^{2}(b+c)\le(a+b)(a+c)(b+c)
[/mm]
[mm] \to4a^{2}\le(a+b)(a+c)
[/mm]
[mm] \to3a^{2}\le [/mm] ab+ac+bc
Mit den anderen Teilen der Gleichung das selbe machen
[mm] \to3b^{2}\le [/mm] ab+ac+bc
[mm] \to3c^{2}\le [/mm] ab+ac+bc
Die drei Gleichungen addieren:
[mm] \to3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\le3(ab+ac+bc)
[/mm]
[mm] \to a^{2}+b^{2}+c^{2} \le [/mm] ab+bc+ca
Dies ist ein Widerspruch (siehe: http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/PU3.html#pu46)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Do 05.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Jetzt kommt ein Einzelvergleich der Elemente.
> Mit 2 multiplizieren + Quadrieren.
> $ [mm] \to4a^{2}(b+c)\le(a+b)(a+c)(b+c) [/mm] $
> $ [mm] \to4a^{2}\le(a+b)(a+c) [/mm] $
> $ [mm] \to3a^{2}\le [/mm] $ ab+ac+bc
Du kannst aus $a+b+c<3d$ nicht $a,b,c<d$ folgern. Da liegt dein Fehler.
Liebe Grüße,
Hanno
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Ist mir auch grad aufgefallen. Was für ein dummer Fehler.
Danke für die fixe Antwort.
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