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Servus,
ich studiere Maschinenbau im 2. Semester und wir behandeln gerade
die "Haupsätze der Vektoranalysis"
An folgender Aufgabe sitze ich nun seit 2 Stunden und komme einfach auf keinen vernünftigen Ansatz, habe bereit mit Green und Gauß gekämpft.
Aufgabe 2)
Berechenen Sie die Vom Hypozykloid
x= [mm] \vektor{a*sin^3(t) \\ a*cos^3(t)}
[/mm]
0<t<2pi
eingeschlossene Fläche
Also wie gesagt, ich bin nicht ganz sicher, ob man das mit dem Satz von Green lösen kann, in dem ich nach t als a ableite und dann integriere?
Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Meiner Ansicht nach heißt es "die" Hypozykloide. Aber sei's drum. Diese spezielle Hypozykloide ist jedenfalls eine ![[]](/images/popup.gif) Astroide. Du solltest dir auf jeden Fall zuerst ein Bild der Kurve zeichnen. Wegen des trigonometrischen Pythagoras folgt
[mm]x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}[/mm]
wobei man hier [mm]x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}[/mm] auch für negative [mm]x[/mm] definiert. Diese Gleichung ist invariant, wenn man bei [mm]x[/mm] oder [mm]y[/mm] das Vorzeichen ändert. Auch bei Vertauschung von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] geht sie in sich über. Daher ist die Kurve sowohl symmetrisch zu den Koordinatenachsen als auch zur Geraden [mm]y=x[/mm]. Es genügt daher, den Inhalt des Flächenstücks [mm]B[/mm], das im I. Quadranten liegt, zu berechnen und den Wert zu vervierfachen. [mm]B[/mm] wird begrenzt durch die Koordinatenachsen und das Stück der Kurve, das im I. Quadranten liegt (unbedingt zeichnen!). Wenn [mm]\partial B[/mm] der positiv orientierte Rand von [mm]B[/mm] ist, kannst du die Gesamtfläche [mm]A[/mm] der Astroide berechnen durch
[mm]A = 4 \int_{B} \mathrm{d}(x,y) = \int_{\partial B} -y~\mathrm{d}x[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Mo 06.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das objekt heisst auch Astroide.
Ganz allgemein berechnest du die Flaeche aus [mm] dF=|x\times [/mm] x'|dt
bezw det|x,x'|dt
du musst hier nur bis [mm] \pi/2 [/mm] integrieren, da die Kurve ne 4 fach symmetrie hat.
(dein Ergebnis sollte [mm] 3/8*\pi*a^2 [/mm] sein.
Gruss leduart
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