Hypothesentests und Testfehler < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hab ein ganz dringendes Verständnisproblem (nicht dringend, damit mir jemand schnell antwortet, sondern einfach, weils mir so auf der Seele brennt ;o) ).
Also.
Ich kann ja Hypothesentests bei der Stochastik machen. Dann teste ich, ob eine Hypothese stimmt oder nicht. Eine Variante kann sein, dass ich zB den Fehler 1. Art bestimmen soll, also Alpha berechnen soll/ Singnifikanzniveau/ Irrtumswahrscheinlichkeit.
Dann gibt es den einseitigen Test (links oder rechts), bei dem ich dann den Annahmebereich selbst bestimme.
Soweit, so gut. Aber:
Was gibt mir nun der Fehler 2. Art an? Es muss mir dazu ja ein p vorgegeben werden, aber ich verstehe den Sinn jetzt nicht wirklich, bzw was ich da machen muss.
Und: Ein Hypothesentest ist doch auch ein zweiseitiger Test. In den Abivorgaben steht als Vorgabe "einseitiges Hypothesentest". WSie soll ich das verstehen? Wenn es einen Unterschied zw. einseitigem und zweiseitigem Test gibt, was ist dann ein Hypothesentest im Gegensatz zu einem zweiseitigem Test.
Wenn es keinen Unterschied gibt, ist die Berechnung von Beta, also dem Fehler 2. Art (was auch immer das sein mag) in den Vorgaben relevant oder kann ich das dann auslassen?
Bitte bringe doch jemand Licht in mein Dunkel! Ich danke im Voraus!
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Hi, Englein,
> Ich kann ja Hypothesentests bei der Stochastik machen. Dann
> teste ich, ob eine Hypothese stimmt oder nicht.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist der Fehler, den viele anfangs machen!
Ein Test kann Dir NIE sagen, ob die Hypothese richtig oder falsch ist!!!
Was Du vielmehr berechnest, ist:
Wie gut ist der Test?
Und auch das nur in EINER RICHTUNG, nämlich:
Angenommen, die Nullhypothese ist richtig; mit welcher Wahrscheinlichkeit könnte mir der Test dann trotzdem ein gegenteiliges ("falsches") Ergebnis bringen (Fehler 1.Art)?
Je größer diese Wahrscheinlichkeit, desto schlechter der Test; je kleiner, desto besser der Test.
> Eine Variante kann sein, dass ich zB den Fehler 1. Art bestimmen
> soll, also Alpha berechnen soll/ Singnifikanzniveau/
> Irrtumswahrscheinlichkeit.
Vorsicht! "Signifikanzniveau" und "Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art" ist nicht dasselbe - das wissen übrigens auch manche Lehrer nicht und in alten Formelsammlungen steht's auch manchmal falsch!
Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1.Art kann man berechnen, das Signifikanzniveau wird vorgegeben (z.B. 5%) und daraus der maximale Ablehnungsbereich der Nullhypothese bestimmt. Der tatsächliche Fehler ist praktisch immer KLEINER als das vorgegebene Signifikanzniveau.
> Dann gibt es den einseitigen Test (links oder rechts), bei
> dem ich dann den Annahmebereich selbst bestimme.
>
> Soweit, so gut. Aber:
>
> Was gibt mir nun der Fehler 2. Art an? Es muss mir dazu ja
> ein p vorgegeben werden, aber ich verstehe den Sinn jetzt
> nicht wirklich, bzw was ich da machen muss.
Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art
(Obwohl die Gegenhypothese in Wirklichkeit stimmt, bringt mir der Test ein gegenteiliges Ergebnis)
kann man bei einem Signifikanztest NIEMALS ermitteln.
Das geht nur bei einem ALTERNATIVTEST, bei dem man sozusagen zwischen 2 gleichwertigen Hypothesen unterscheiden muss.
Bei einem Signifikanztest wird der Fehler 2.Art sozusagen "stiefmütterlich" behandelt; man legt die ganze Konzentration auf den Fehler 1.Art.
Darum wird man i.A. den Test auch so legen, dass der Fehler 1.Art der "schlimmere" ist.
Nimm als Beispiel einen Gerichts-Prozess, der nur auf Indizien basiert.
Die Nullhypothese lautet: Der Angeklagte ist unschuldig.
Der Fehler 1.Art ist: Dennoch wird der Angeklagte auf Grund der Indizien schuldig gesprochen.
Man muss nun so viele "sattelfeste" Indizien wie möglich sammeln, um diesen Fehler möglichst klein zu halten. (Denn was ist schlimmer, als dass in einem solchen Prozess ein Unschuldiger verknackt wird?!)
Dabei geht man natürlich das Risiko ein, dass auch mal ein Schuldiger freigesprochen wird (Fehler 2.Art), doch wird man dies im Zweifelsfall für den weniger schweren Fehler halten.
> Und: Ein Hypothesentest ist doch auch ein zweiseitiger
> Test. In den Abivorgaben steht als Vorgabe "einseitiges
> Hypothesentest". Wie soll ich das verstehen? Wenn es einen
> Unterschied zw. einseitigem und zweiseitigem Test gibt, was
> ist dann ein Hypothesentest im Gegensatz zu einem
> zweiseitigem Test.
Es gibt sozusagen 3 verschiedene Signifikanztests:
- den linksseitigen (hier liegt der Ablehnungsbereich der Nullhypothese links vom Annahmebereich),
- den rechtsseitigen (hier liegt der Ablehnungsbereich rechts) und
- den zweiseitigen (hier ist der Ablehnungsbereich 2-geteilt und liegt teilweise links, teilweise rechts vom Annahmebereich).
Häufiger sind eigentlich die ersten beiden, denn wenn man einen Test durchführt, hat man doch eigentlich immer eine Vermutung, in welcher Richtung die Nullhypothese "abweichen" könnte.
Beispiel: Bei einem Würfel tritt die Vermutung auf, dass die 6 häufiger als üblich erscheint. Hier wird der Test rechtsseitig durchgeführt.
Welchen Sinn sollte es hier auch haben, wenn man sagt: "Ich glaube, dieser Würfel ist gefälscht! Ich weiß aber nicht, ob die 6 zu selten oder zu oft kommt." (Das wäre dann ein Anlass für einen zweiseitigen Test! Aber naja!)
> Wenn es keinen Unterschied gibt, ist die Berechnung von
> Beta, also dem Fehler 2. Art (was auch immer das sein mag)
> in den Vorgaben relevant oder kann ich das dann auslassen?
Weder beim ein- noch beim zweiseitigen Test kannst Du den Fehler 2.Art berechnen!
Das geht - wie schon gesagt - nur beim Alternativtest (und den gibt's überhaupt nicht "zwei"seitig!)
> Bitte bringe doch jemand Licht in mein Dunkel! Ich danke im
> Voraus!
Naja: Schau halt mal, was Du mit meinen Erläuterungen anfangen kannst!
mfG!
Zwerglein
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Danke erstmal, ich werd mir das nochmal morgen ganz genau ansehen.
Aber: Wir haben wie gesagt gelernt: Fehler 1. Art und Singifikanzniveau = das gleiche und jetzt weiß ich nicht, ob ich das einfach ignorieren kann.
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> Aber: Wir haben wie gesagt gelernt: Fehler 1. Art und
> Singifikanzniveau = das gleiche und jetzt weiß ich nicht,
> ob ich das einfach ignorieren kann.
Oben steht es doch schon: Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1.Art kann man berechnen, das Signifikanzniveau wird vorgegeben (z.B. 5%) und daraus der maximale Ablehnungsbereich der Nullhypothese bestimmt. Der tatsächliche Fehler ist praktisch immer KLEINER als das vorgegebene Signifikanzniveau.
Also nehmen wir das Beispiel mit dem Indizienprozess: Man berechnet, dass der Angeklagte mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit schuldig ist.
Er ist also mit 10%-iger Wahrscheinlichkeit unschuldig.
Richter Milde gibt 5 % Signifikanz vor ("Im Zweifel zu Gunsten des Angeklagten") und spricht den Angeklagten frei.
Richter Gnadenlos dagegen gibt 15 % Signifikanz vor und verurteilt den Angeklagten.
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Wieso habe ich denn jetzt 2 Signifikanzniveaus und wo ist da jetzt der Fehler 1. Art enthalten?
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> Wieso habe ich denn jetzt 2 Signifikanzniveaus
Es sind nicht 2 Signifikanzniveaus, sondern zwei unterschiedliche Aufgaben.
> und wo ist da jetzt der Fehler 1. Art enthalten?
Fehler der 1. Art heißt, dass die Nullhypothese (Angeklagter ist unschuldig)richtig ist , dass man aber irrtümlich annimmt, sie sei falsch (und deshalb den Angeklagten verurteilt, obwohl er unschuldig ist)
Fehler der 2. Art heißt, dass die Nullhypothese falsch ist (Der Angeklagte ist schuldig), dass man aber irrtümlich annimmt sie sei richtig (und deshalb den Angeklagten laufen lässt, obwohl der schuldig ist)
Der Richter muss aber vor Prozessbeginn festlegen, bis wieviel Prozent Unschuldsvermutung er trotzdem verurteilt.
Und da wird Richter Milde (dem es in erster Linie darum geht, keine Unschuldigen zu verknacken) eine kleinere Prozentzahl festlegen als Richter Gnadenlos (dem es in erster Linie darum geht, keine Straftäter ungeschoren davon kommen zu lassen)
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Ok, ich fasse mal zusammen, was ich jetzt weiß.
Es gibt einseitige und zweiseitige Hypothesentests. Bei dem zweiseitigen habe ich das Signifikanzniveau zu Anfang normalerweise gegeben und berechne einen Annahmebereich in dem auch die Werte enthalten sind, die durch das Singifikanzniveau hineinfallen.
Für beide Tests: Den Fehler 1. Art berechne ich deshalb, um zu wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Wert in diesem Abweichungsbereich drin ist. (Beim einseitigen Test ist der Bereich dann nicht mehr links und rechts, sondern links ODER rechts).
Wie mache ich das genau? Nehme ich dann die untere Grenze (bei einem linksseitigen Test) und die obere Grenze (bei einem rechtsseitigen Test) und lese dann die für die in der Aufgabe gegebene Wahrscheinlichkeit p und die Länge der "Kette" n die Wahrscheinlichkeit in der Tabelle ab?
Damit hätte ich dann ja die Angabe dafür einen Wert für den Test anzunehmen, der eigentlich nicht stimmt. Oder nehme ich den Wert der als erster unter bzw über der Grenze des errechneten Annahmebereichs liegt?
Ich muss für das Abitur nur links- oder rechtsseitige Tests kennen (in den Vorgaben steht "einseitiger Hypothesentest").
Und zum 2. Fehler.. da berechne ich ja, dass ich einen Test ablehne, obwohl er richtig ist. Dazu habe ich immer ein weiteres p (Wahrscheinlichkeit ) gegeben und rechne damit. Aber ich habe nicht verstanden, wie ich das dann genau mache und inwiefern ich dann die Wahrscheinlichkeit berechne, dass ich eben einen Test ablehne, obwohl er richtig ist (oder meint es auch hier, dass ich einen WERT ablehne, obwohl er richtig ist?).
Ich weiß nur noch irgendwas davon, dass ich dann etwas über den Ablehnungbereich oder so berechnen muss? Oder mache ich das bei dem Fehler erster Art evtl auch?
Und das Singifikanzniveau ist eigtl nur das Alpha, das ich bei einem Test angegeben bekommen muss. Fehler erster Art ist dann auch Alpha aber das nennt man nicht Singifikanzniveau?
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Hi, Englein,
> Ok, ich fasse mal zusammen, was ich jetzt weiß.
>
> Es gibt einseitige und zweiseitige Hypothesentests.
Richtig!
> Bei dem
> zweiseitigen habe ich das Signifikanzniveau zu Anfang
> normalerweise gegeben und berechne einen Annahmebereich in
> dem auch die Werte enthalten sind, die durch das
> Singifikanzniveau hineinfallen.
Warum meinst Du, dass grade beim 2-seitigen Test dieser Aufgabentyp Vorrang hat?
Selbstverständlich ist sowohl beim einseitigen wie beim zweiseitigen Test möglich, dass
a) die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art berechnet werden soll
oder
b) bei vorgegebenem Signifikanzniveau der maximale Ablehnungsbereich bestimmt werden soll.
> Für beide Tests: Den Fehler 1. Art berechne ich deshalb, um
> zu wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein
> Wert in diesem Abweichungsbereich drin ist. (Beim
> einseitigen Test ist der Bereich dann nicht mehr links und
> rechts, sondern links ODER rechts).
Unter der Voraussetzung, dass in Wirklichkeit die Nullhypothese stimmt.
> Wie mache ich das genau? Nehme ich dann die untere Grenze
> (bei einem linksseitigen Test) und die obere Grenze (bei
> einem rechtsseitigen Test) und lese dann die für die in der
> Aufgabe gegebene Wahrscheinlichkeit p und die Länge der
> "Kette" n die Wahrscheinlichkeit in der Tabelle ab?
Nochmal: Bei einem linksseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich links vom Annahmebereich, sieht also etwa so aus: { 0; ...; c}.
Wie willst Du dann "die untere Grenze" (also 0 !) einsetzen?
Analog beim rechtsseitigen!
> Damit hätte ich dann ja die Angabe dafür einen Wert für
> den Test anzunehmen, der eigentlich nicht stimmt. Oder
> nehme ich den Wert der als erster unter bzw über der Grenze
> des errechneten Annahmebereichs liegt?
Mal ehrlich: Verstehst Du die Frage selbst?
Es wäre besser, wir würden das Ganze mal an einem (oder auch zwei)
Beispiel(en) durchrechnen.
Schlag' doch mal eine Aufgabe vor!
> Ich muss für das Abitur nur links- oder rechtsseitige Tests
> kennen (in den Vorgaben steht "einseitiger
> Hypothesentest").
Wunderbar! Dann konzentrieren wir uns auf links- und rechtsseitige Tests (wobei rechtsseitige rechnerisch anspruchsvoller sind!).
> Und zum 2. Fehler.. da berechne ich ja, dass ich einen Test
> ablehne, obwohl er richtig ist. Dazu habe ich immer ein
> weiteres p (Wahrscheinlichkeit ) gegeben und rechne damit.
Nochmal:
Bei einem Signifikanztest kannst Du den Fehler 2.Art nicht berechnen!
Das geht nur bei einem Alternativtest!
> Aber ich habe nicht verstanden, wie ich das dann genau
> mache und inwiefern ich dann die Wahrscheinlichkeit
> berechne, dass ich eben einen Test ablehne, obwohl er
> richtig ist (oder meint es auch hier, dass ich einen WERT
> ablehne, obwohl er richtig ist?).
Auch hier wird Dir nichts Anderes übrig bleiben, als uns ein Beispiel rüberwachsen zu lassen, das wir dann "gemeinsam" lösen!
Allgemeine Erklärungen geraten nämlich irgendwann immer an ihre Grenzen!
> Und das Singifikanzniveau ist eigtl nur das Alpha, das ich
> bei einem Test angegeben bekommen muss. Fehler erster Art
> ist dann auch Alpha (
Wir haben zur Unterscheidung immer
[mm] \alpha [/mm] '
geschrieben,
wobei halt [mm] \alpha [/mm] ' [mm] \le \alpha [/mm] gilt.
> aber das nennt man nicht Sigifikanzniveau?
Nö, sondern "Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art"!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 Mi 02.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Mal ehrlich: Verstehst Du die Frage selbst?
> Es wäre besser, wir würden das Ganze mal an einem (oder
> auch zwei)
> Beispiel(en) durchrechnen.
> Schlag' doch mal eine Aufgabe vor!
Ich finde auch, du - englein89 - machst das alles zu "mechanisch", wie (falsch) auswendig gelernt, ohne überhaupt zu verstehen, was gemeint ist.
Bevor man irgendwelche Begriffe (Fehler 1. Art, Signifikanzniveau etc.) benutzt, sollte man erst einmal verstehen, um was es überhaupt geht. Und dafür ist eine konkrete Aufgabe meines Erachtens am besten geeignet.
"Begriffe" sind ja nur dafür da, um sich kürzer ausdrücken zu können. Statt "Signifikanzniveau" zu sagen, könnte man das Ganze ja auch umschreiben - nur wäre das dann jedes Mal ein halber Roman.
Aber für einen Schüler ist am Anfang so ein Roman nicht verkehrt, damit er versteht, worum es eigentlich geht.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:28 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Englein89 |
| Aufgabe |
"Die Firma Noko garantiert nun, dass bei einer Lieferung höchstens 4% der Handys fehlerhaft sind.
Der Großhändler macht eine Stichprobe mit 100 Handys und findet 7 fehlerhafte.
Kann er hieraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% schließen, dass die Firma Noko eine falsche Angabe gemacht hat?" |
Ok, ein Beispiel.
Unsere Lösung heute:
Hypothesentest einseitig.
H 0: p [mm] \le [/mm] 0,04
H 1: p > 0,04
n=100
X entspricht der Anzahl der fehlerhaften Handys
X ist B 100; 0,04-verteilt
-> rechtss. Test
-> kleine Werte sprechen für H 0. (Frage: 7 von 100 macht doch 0,07 und das würde doch der Hypothese H 1 entsprechen. Warum rechne ich nicht mit H 1? Muss ich das immer entscheiden ob ich mit der Nullhypothese oder der Gegenhypothese rechne?)
P(X>k) [mm] \le [/mm] 0,05 (0,05 ist der Fehler 1. Art)
1- P(X [mm] \le [/mm] k) [mm] \le [/mm] 0,05
0,95 [mm] \le P(X\lek) [/mm] -> in Tabelle anlesen
k=7 (Wann ist k erstmals größer als 0,95, also: k bezeichnet den Rand des rechten Annahmebereichs)
alternative berechnung: 1-P(X [mm] \le [/mm] k-1) [mm] \le [/mm] 0,05 (damit hätte man die erste Zahl des Ablehnungsbereichs)
=> A=[0;7]
Angenommen es gäbe hier einen linksseitigen Test: (Angaben bleiben gleich)
z.B.:
H 0: p [mm] \ge [/mm] 0,04
H 1: p > 0,04
P(X <k) [mm] \ge [/mm] 0,05
P(X [mm] \le [/mm] k-1) [mm] \ge [/mm] (Ist die Umformung hier richtig?)
Für den Fehler 2. Art:
"In Wirklichkeit beträgt die Fehlerquote p=0,8"
X ist jetzt B 100; 0,8- verteilt
=> Beta = P (X [mm] \le [/mm] 7) (7 wird eingesetzt, da sie den Rand des Annahmebereichs bezeichnet)
Für einen linksseitigen Test verfährt man genauso.
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So, das sind meine Ergebnisse inkl. einigen Unklarheiten bezüglich der Rechnung. Und hier weitere.
a) Verfährt man für jeden Test genauso?
b) Wenn ich nicht Alpha, also das Signifikanzniveau in Prozent sondern als c gegeben hab, kann ich das ja einfach in die Formel einsetzen, zB für den rechtsseitigen Test [0; [mm] \mu- [/mm] c* Sigma] Dann habe ich ja auch den Annahmebereich und nehme für die Berechnung des Fehlers 2. Art einfach diese Grenze?
Danke im Voraus!
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Es ist ja schon mal gut, dass du hier eine konkrete Aufgabe hast.
Wenn die Firma Noko behauptet, dass höchstens 4 % ihrer Handys fehlerhaft sind, dann musst du also einsetzen:
für "fehlerhaft"=0.04 und für "in Ordnung"=0.96
Nun werden 100 Handys getestet. Mal angenommen, die Firma Noko sagt die Wahrheit = dann kannst du ja berechnen, wie groß die jeweilige Wahrscheinlichkeit ist, dass von diesen 100 Handys genau 1, genau 2, genau 3...
bzw. dass von diesen 100 Handys mehr als 6 Handys fehlerhaft sind (was in diesem Fall ja zutrag = da es 7 fehlerhafte Handys gab).
Welches Ergebnis dabei rauskommt, kannst du mit Hilfe deines Computers oder irgendwelcher Tabellen ermitteln.
Nun steht in der Aufgabe "mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%":
Das heißt, wenn die von dir berechnete Wahrscheinlichkeit weniger als 5% beträgt, dann hieße das, dass du annehmen musst, dass die Firma Noko gelogen hat und mehr als 4 % ihrer Handys fehlerhaft sind.
Dabei besteht natürlich die Möglichkeit, dass du dann einen Fehler der 1. Art begehst, weil du nur zufälligerweise so viele fehlerhafte Handys gefunden hast.
(Ich habe das hier unter "Mitteilung" und nicht unter "Antwort" vermerkt, weil jemand anderer das eventuell besser erklären kann)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, rabilein,
> (Ich habe das hier unter "Mitteilung" und nicht unter
> "Antwort" vermerkt, weil jemand anderer das eventuell
> besser erklären kann)
Ich hab' doch in eine Antwort verwandelt, weil's ja eine solche ist!
Dafür steht die Frage von englein noch auf "nicht beantwortet"!
mfG!
Zwerglein
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Hallo,
kann sich bitte jemand nochmal um das Beispiel kümmern. Ich brauche ganz dringend Aufkläörung, was die Tests angeht und die Fehler, ich blick da GAR nicht durch.
Unser Lehrer sieht das Signifikanzniveau als Fehler erste Art an, also sollte ich damit rechnen, bevor ich in der Klausur was rechne, was er gar nicht so sieht.
Bitte bitte, ich schreib Dienstag meine Abiklusure und ich verzweifle daran.
Ich kann ja evtl nachher mein Schema niederschreiben das ich recht allgemein für die Tests und die Fehler habe? Schwierig ist halt eben auch die Berechnung mit und ohne angegebenem c.
Es kann doch nicht sein, dass mir das niemand erklären kann :(
Ich bedanke mich im Voraus schonmal herzlichst!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:00 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Allgemein ist es so, dass du eine Hypothese [mm] H_0 [/mm] hast.
Der Ansatz ist der, zuerst zu glauben, dass [mm] H_0 [/mm] korrekt ist und daher die W.-keit für das aufgetretene Ereignis E mit den Daten von [mm] H_0 [/mm] zu berechnen.
Falls sich dabei herrausstellen sollte, dass unter den Bedingungen von [mm] H_0 [/mm] das Ereignis sehr unwahrscheinlich [mm] (W.-keit\le\alpha [/mm] =Signifikanzniveau ) ist, so wird [mm] H_0 [/mm] abgelehnt.
Da aber selbst gerinste W.-keiten irgendwann einmal tatsächlich stattfinden können, könnte [mm] H_0 [/mm] dabei trotzdem richtig gewesen sein.
Das ist ein Fehler erster Art.
Die W.-keit daür (P(E) unter den Bed. von [mm] H_0) [/mm] ist genau diejenige, wegen der wir [mm] H_0 [/mm] abgelehnt haben.
D.h. die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art ist [mm] \le\alpha [/mm] dem Signifikanzniveau.
Soll man ein Annahmebereich bestimmen, so wählt man diesen so, dass P(Fehler erster Art)= [mm] \alpha.
[/mm]
Um so kleiner der Fehler erster Art, um so größer wird der Fehler zweiter Art.
> Frage: 7 von 100 macht doch 0,07 und das würde doch der Hypothese H 1 entsprechen. Warum rechne ich nicht mit H 1? Muss ich das immer entscheiden ob ich mit der Nullhypothese oder der Gegenhypothese rechne?
Da gibts nichts zu entscheiden. Noko hat behauptet, dass es [mm] \le4 [/mm] % sind. Du darfst nur dagegen sein, wenn es dir die dann folgende Rechnung erlaubt. [mm] H_0 [/mm] ist also immer das was behauptet wird. Damit musst dann auch rechnen.
> 0,95 [mm] \le P(X\le [/mm] k) [mm] \Rightarrow [/mm] in Tabelle anlesen [mm] k\red{\ge}7
[/mm]
7 ist somit der Rand.
> z.B.:
> H 0: p $ [mm] \ge [/mm] $ 0,04
> H 1: p > 0,04
Das ist ziemlich sinnlos, da [mm] H_1 [/mm] in [mm] H_0 [/mm] enthalten ist. Somit würde, wenn [mm] H_0 [/mm] abgelehnt wurde, auch [mm] H_1 [/mm] abgelehnt werden.
Sollte wohl auch [mm] H_1<0,04 [/mm] sein.
Dann muss [mm] P(X
[mm] \gdw P(X\ge k)\ge [/mm] 0,95
> Beta = P (X $ [mm] \le [/mm] $ 7)
Genau. [mm] H_0 [/mm] wurde angenommen. X war also im Annahmeb. [mm] \le7, [/mm] obwohl p=0.8 ist.
> "In Wirklichkeit beträgt die Fehlerquote p=0,8"
80% Schrott ? ^^ wow
Noko...
Ciao.
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Danke erstmal für die super Antwort. Ich hab das Gefühl, da hat zum ersten Mal jemand ähnlich wie ich die Stochastik gelernt ;o)
Ich hab jetzt, damit ich lernen kann, eine allgemeines Rechenschema aufgestellt. Kann da bitte jemand drüber gucken? In der Stochastik kann ich nur mit solchen Schemen rechnen, ich kann mir das schwer vorstellen und DANN die Rechnung aufstellen.
Also.
Testen der Hypothese einseitig; c ist gegeben (also der Wert für [mm] \alpha)
[/mm]
linksseitiger Test (immer dann, wenn in der Aufgabenstellung "mindestens" behauptet wird. Wird immer "mindestens" oder "höchstens" behauptet? Oder muss ich evtl durch Rechnung, wie viel Prozent die Stichprobe ausmachen, zB 7 von 100 ausrechnen ob es "mehr" oder "weniger" sind als die angegebene Wahrscheinlichkeit und bei "weniger" linksseitig testen?)
Dann lautet
H0: p=p0
H1: p [mm] \le [/mm] p0
Annahmebereich ist dann [mm] [\mu [/mm] -c*Sigma]
Rechtsseitiger Test für "höchstens" (oder "mehr", je nachdem, ob ich das so machen darf, s.o.)
Hypothese
H0: p=p0
H1: p\ ge p0
Annahmebereich ist dann [mm] [\mu [/mm] +c*Sigma]
So hab ich das aus unserem Mathebuch, ist das soweit richtig? Denn im Prinzip heißt es doch "höchstens" oder "mindestens", wieso soll dann H0 GLEICH der Wahrscheinlichkeit sein und erst die Gegenwahrscheinlichkeit das Gegenteil von der Behauptung? :/
Zum Fehler 2. Art, also Beta:
(Die Wahrscheinlichkeit für Noko hat sich unser Lehrer nur als krasses Beispiel ausgedacht ;o)).
Da ist die neue Wahrscheinlichkeit die Größe, mit der ich rechnen muss.
Also ist B n;p(neu)-verteilt.
Ich kann also rechnen Beta= P(X [mm] \le [/mm] Rand des Annahmebereichs) und das ablesen in der Tabelle. ABER: Gilt diese Rechnung für rechts- und linksseitige Test? Nur dass ich beim linksseitigen Test die untere Grenze rechne und beim rechtsseitigen die obere Grenze ?
Habe nämlich gehört, man müsste hier über den Ablehnungsbereich gehen.
So viel zur Rechnung mit c.
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Jetzt aber ohne angegebenem c, sondern nur mit Alpha.
linksseitig:
(Und da bin ich mir wieder unsicher bei der Aufstellung der Hypothese, weil ich da wieder andere Aufzeichnungen für H0 und H1 habe)..
Ho: p [mm] \ge [/mm] p0
H1: p < p0
Dann kann ich rechnen:
P(X<k) [mm] \ge [/mm] Alpha [mm] \gdw [/mm] P(X [mm] \le [/mm] k-1) [mm] \ge [/mm] Alpha
ODER über den Ablehnungsbereich (?):
K={0;k} wobei k die untere Grenze des Ablehnungsbereichs ist (oder ist es die untere Grenze -1?)
=> P(X [mm] \le [/mm] k) [mm] \le [/mm] Alpha (Was ich dann wieder in der Tabelle ablesen kann).
Für den Rechtsseitigen Test:
H0: p [mm] \le [/mm] p0
H1: p > p0
Ich hab hier stehen "Kleine Werte sprechen für H0" - was sagt mir das? Und was bedeutet das für einen linksseitigen Test? Ich verstehe die Aussage nicht, inwiefern mir diese weiterhelfen soll.
Also rechne ich:
P(X > k) [mm] \le [/mm] Alpha [mm] \gdw [/mm] 1-P(X [mm] \ge [/mm] k) [mm] \le [/mm] Alpha [mm] \gdw [/mm] 0,95 [mm] \le [/mm] P(X [mm] \le [/mm] k) [mm] \gdw [/mm] k [mm] \ge [/mm] abgelesener Wert, für den k erstmals größer 0,95 ist.
=> A=[0;k]
ODER auch wieder über den Ablehnungsbereich (?):
K={k;n} wobei k jetzt die untere Grenze oder die untere Grenze -1?
=> P(X [mm] \ge [/mm] k) [mm] \le [/mm] Alpha
=> 1- P(X [mm] \le [/mm] k-1) [mm] \le [/mm] Alpha
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Das wars soweit von dem, was ich hab. Ich gehe davon aus, dass ich Beta für einen Test ohne angegebenem Wert für c genauso ausrechne, wie als hätte ich c ;o)
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Ich weiß, es ist tierisch doofe Arbeit so ein (fehlerhaftes) Schema durchzugehen, aber ich bin darauf angewiesen, falls so eine Aufgabe im Abi drankommt (und sie kommt mit Sicherheit). Stochadtik ist so gar nicht mein Gebiet :o(
Aber wenn das Schema richtig ist, können es ja auch andere Leidensgenossen übernehmen bei weieteren Fragen in der Zukunft.
Danke danke danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Sa 12.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Wenn man das alles in Theorie durchgeht, dann wird man ja kirre im Kopf - da gebe ich dir Recht.
Aer versuche dir das doch mal praktisch vorzustellen, damit du verstehst, was gemeint ist und was ausgedrückt werden soll.
Nehmen wir dein Beispiel mit Noko:
Die Firma behauptet irgend etwas, was sie aber nicht beweisen und was du auch nicht widerlegen kannst.
Du bist nur auf eine Stichprobe angewiesen (da du ja in der Praxis nicht sämtliche Geräte untersuchen kannst)
Nun fragst du dich (bzw. berechnest): Wie groß ist eigentlich die Wahrscheinlichkeit, ein solches Ergebnis zu erzielen? Ist so ein Ergebnis "normal" oder "höchst unwahrscheinlich"?
Diesen Höchst-Unwahrscheinlich-Bereich musst du allerdings vorher festlegen - z.B.: wenn die Wahrscheinlichkeit kleiner als 5 % ist.
Beispiel: Jemand gibt dir ein Skatblatt und behauptet, es sei ein ganz normales Skatblatt (mit 16 roten und 16 schwarzen Karten). Nun ziehst du willkürlich 12 Karten raus, und alle 12 sind rot.
Dann bekommst du das Gefühl: Hey, hier stimmt was nicht. Aber du kannst auch berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass du aus einem normalen Skatspiel 12 Rote von 12 Karten ziehst. Es ist zwar niht unmöglich, aber sehr sehr unwahrscheinlich, so dass man davon ausgehen könnte, dass es sich doch nicht um ein "normales" Kartenspiel handelt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Englein89 |
Hallo,
gut, das hab ich jetzt verstanden, danke :) Ich weiß, dass es blöd ist alles so schematisch durchzugehen, aber mir fällt das eben gerade in der Aufregung nicht so leicht mir das zu erklären, sondern greife das lieber auf bekannte Schemen zurück.
Stimmen denn wenigstens die genannten Aufstellungen mit H0 und H1, die ich oben genannt habe? die größer, kleiner, größergleich und kleinergleich Zeichen müssen in meinen Unterlagen wohl durcheinandergeraten sein ;o)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Stichprobe von n Elemeneten.
1)
Aufgabe : Noko sagt [mm] \blue{hoechstens/maximal/weniger\ als} [/mm] 4% sind defekt
[mm] H_0 [/mm] : [mm] p\le0,04 [/mm] , ( < für weniger)
[mm] H_1 [/mm] : p>0,04 , ( [mm] \ge [/mm] für weniger)
p=0 gehört, da [mm] 0\le0,04 [/mm] ist, zu [mm] H_0
[/mm]
[mm] E(defekt)=\mu=n*p\le [/mm] n*0,04 sollte [mm] H_0 [/mm] bestätigen.
Somit ist [mm] [0,\mu]\ \forall \mu\in[0,n*0,04], [/mm] also [0,n*0,04] schonmal im Annahmebereich.
Es geht dann also nur noch um die rechte Grenze.
2)
Aufgabe : Noko sagt [mm] \blue{mindestens/minimal/mehr\ als} [/mm] 4% sind fehlerfrei
[mm] H_0 [/mm] : [mm] p\ge0,04 [/mm] , ( > für mehr)
[mm] H_1 [/mm] : p<0,04 , ( [mm] \le [/mm] für mehr)
p=1 gehört, da [mm] 1\ge0,04 [/mm] ist, zu [mm] H_0
[/mm]
[mm] E(defekt)=\mu=n*p\ge [/mm] n*0,04 sollte auch noch [mm] H_0 [/mm] bestätigen.
Somit ist [mm] [\mu,n]\ \forall \mu\in[n*0,04,n], [/mm] also [n*0,04,n] schonmal im Annahmebereich.
Es geht dann also nur noch um die linke Grenze.
3)
Aufgabe : Noko sagt [mm] \blue{genau/exakt} [/mm] 4% sind defekt
[mm] H_0 [/mm] : p=0,04
[mm] H_1 [/mm] : [mm] p\not=0,04
[/mm]
nur p=0,04 gehört zu [mm] H_0
[/mm]
[mm] E(defekt)=\mu=n*p=n*0,04 [/mm] sollte [mm] H_0 [/mm] bestätigen.
Es geht dann also noch um beide Grenzen.
Wenn [mm] H_1 [/mm] nicht extra angegeben wird, ist es einfach das Gegenteil.
Ciao.
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Vielen Dank, ich glaube, jetzt habe ich das ganze verstanden. DANKE! :)
Nur nochmal zum Verständnis: Ich kann, wenn ich kein c für Alpha angegeben bekomme, den Annahmebereich für einen Test über den Ablehnungsbereich berechnen, richtig?
Und für den Fehler 2. Art, also Beta, nehme ich dann den Rand des Annahme- oder Ablehnungsbereichs?
Wenn ich krumme Werte fr den Annahme- oder ABlehnungsbereich hab, wie runde ich dann? Auf bei der unteren und ab bei der oberen Grenze oder ganz normal nach den Gesetzen des Rundens, also ab x,5 auf?
Gilt das dann auch für den Wert, den ich über den Ablehnungsbereich erhalte?
Vielen Dank nochmals. Das Forum ist super :)
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Mir fiel gerade noch eine Frage ein, die mir auf der Zunge brennt:
Wenn ich bei der Berechnung für den einseitigen Test über den Ablehnungsbereich gehe habe ich zb für einen rechtsseitigen Test:
P(X [mm] \ge [/mm] k) [mm] \le [/mm] Alpha weil der Ablehnungsbereich K=k;n ist. Aber was ist das jetzt für eine Zahl, die ich herausbekomme? Ist das der Rand des Ablehnungsbereichs? Ich forme ja um:
1- P(X [mm] \le [/mm] k-1) [mm] \le [/mm] 0,05 etc und hab dann am Ende stehen k-1 [mm] \le [/mm] 0,95. Ich bekomme dann hier für diese Noko Aufgabe die ich hier gestellt hatte 6 heraus und demnach wäre der Annahmebereich 0;5, aber das stimmt laut Lösung nicht, weil der Annahmebereich bis 7 geht.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, was ich da falsch mache?
Evtl stimmt ja auch der Ansatz nicht, aber dann würde ja auch der Ansatz für einen linksseitigen Test, den ich mir aufgeschrieben habe nicht stimmen, der da wäre: K (Abl. bereich)= 0;k => P(X [mm] \leK) \le [/mm] Alpha
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Ich hatte bei der Noko-Aufgabe auch erst 6 (statt 138) raus *lach*.
Das hat aber weniger mit mathematischem Verständnis zu tun, als mit sprachlichem Verständnis. Man muss sich das wirklich dreimal durchlesen und dann überlegen bzw. verstehen, was gemeint ist.
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D.h. meine Rechnung ist richtig? Was ist denn dann falsch :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 16.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 15.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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