Hypothesentest Poissonverteil. < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Do 10.02.2011 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | Seien [mm] X_1 [/mm] , ... , [mm] X_n [/mm] unabhängig und [mm] P_\lambda [/mm] verteilt.
a) Zeigen Sie, dass ( [mm] X_1 [/mm] , ... , [mm] X_n [/mm] ) nach einer exponentiellen Familie verteilt ist und monotonen Dichtequotienten besitzt.
b) Bestimmen Sie einen gleichmäßig besten Test zum Niveau [mm] \alpha [/mm] .
c) EIn Zufallsgenerator liefert die folgenden zehn Realitsationen einer [mm] P_\lambda [/mm] - verteilten Zufallsvariablen:
4, 2, 3, 5, 3, 3, 3, 3, 0, 2
Testen SIe die Hypothese H: [mm] \lambda \le 2 [/mm] gegen K: [mm] \lambda [/mm] größer 2 bei einem Signifikanzniveau von [mm] \alpha \le 0,05 [/mm] |
Hallo,
ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Also die a) und b) habe ich schon hinbekommen.
Nun habe ich ja aus der b) den Test erhalten und die Niveaugleichung im allgemeinen Fall.
Wie bringe ich denn nun die Zahlen und die Poissonverteilung mit rein??
Lieben Gruß
Katthi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:03 Sa 12.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Katthi,
mal ohne viel Ahnung ein Schuss ins Blaue von mir: du bräuchtest einen Schätzer T für [mm] \lambda, [/mm] müsstest wissen, wie er verteilt ist und dann mit dem üblichen Ansatz, dass [mm] H_0 [/mm] abgelehnt wird, wenn der Stichprobenausgang zu unwahrscheinlich ist. Musstest du nicht einen Test in Aufgabenteil b) angeben? Ich würde meinen, dass der jetzt vielleicht zum Einsatz kommt? Allerdings steht da nicht was was getestet werden sollte...
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 12.02.2011 | | Autor: | Katthi |
Hey Walde,
danke für deine Antwort schonmal.
Wie sähe denn der Schätzer aus? Ist das dann zB der Maximum Likelihood Schätzer [mm] \bruch {1}{n} \sum_{i=1}^{N} X_i [/mm] ??
Durch den gleichmäßig besten Test aus a) bekomme ich ja die allgemeine Niveaugleichung, bei der jetzt [mm] \alpha [/mm] gegeben ist in c).
Der Test sieht übrigens erstmal folgendermaßen aus:
[mm] f(n)=\left\{\begin{matrix}
1, & \sum_{i=1}^{N} X_i > b \\
a, & \sum_{i=1}^{N} X_i = b \\
o, & \sum_{i=1}^{N} X_i < b
\end{matrix}\right. [/mm]
Und ich weiß, dass die [mm] \sum_{i=1}^{N} X_i [/mm] [mm] P_n_\lambda [/mm] verteilt sind.
Wie bringe ich da nun die gegebenen Werte rein?? Und wie komme ich dann dazu, ob ich die Hypothese verwerfe oder nicht??
Weiß einfach garnicht wie ich das theoretische in das wohl möglich einfachere Zahlenbeispiel umsetzen soll.
LG Katthi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Sa 12.02.2011 | | Autor: | Walde |
> Hey Walde,
>
> danke für deine Antwort schonmal.
> Wie sähe denn der Schätzer aus? Ist das dann zB der
> Maximum Likelihood Schätzer [mm]\bruch {1}{n} \sum_{i=1}^{N} X_i[/mm]
> ??
>
> Durch den gleichmäßig besten Test aus a) bekomme ich ja
> die allgemeine Niveaugleichung, bei der jetzt [mm]\alpha[/mm]
> gegeben ist in c).
> Der Test sieht übrigens erstmal folgendermaßen aus:
>
> [mm]f(n)=\left\{\begin{matrix}
1, & \sum_{i=1}^{N} X_i > b \\
a, & \sum_{i=1}^{N} X_i = b \\
o, & \sum_{i=1}^{N} X_i < b
\end{matrix}\right.[/mm]
Es sollte nicht f(n) heissen, oder? Hängt doch von der Stichprobe ab.
Aber das ist doch schonmal gut. Du musst jetzt a und b so bestimmen, dass [mm] E_{\lambda=0,2}(f)=\alpha.
[/mm]
>
> Und ich weiß, dass die [mm]\sum_{i=1}^{N} X_i[/mm] [mm]P_n_\lambda[/mm]
> verteilt sind.
Ja, das braucht man hier, das kommt ja im Erwartungswert vor.
>
> Wie bringe ich da nun die gegebenen Werte rein?? Und wie
> komme ich dann dazu, ob ich die Hypothese verwerfe oder
> nicht??
Das hängt an dem a und b.
>
> Weiß einfach garnicht wie ich das theoretische in das wohl
> möglich einfachere Zahlenbeispiel umsetzen soll.
>
> LG Katthi
Ich muss jetzt weg, kucke erst morgen nochmal rein.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 13.02.2011 | | Autor: | Katthi |
Hallo Walde,
also dass das von dem a und b abhängt das weiß ich.
das a ist ja quasi die Randomisierung, also sagt mir das, mit wieviel Prozent ich die Hypothese trotzdem verwerfe.
Und das b gibt mir genau Auskunft, ab welchem Wert ich annehme oder verwerfe.
Mein Problem dabei ist allerdings genau, wie ich a und b durch die gegebenen Zahlen berechnen kann.
Stehe irgendwie völlig auf dem Schlauch...
Wir hatten in der Vorlesung so eine Aufgabe mit einem Münzwurf, bei dem man testen sollte, ob man dem Glücksspieler Betrug nachweisen kann, da sollte man dann ausrechnen, ab wieviel mal Kopf zB man annehmen kann, dass er betrügt. Da ist mir das mit dem a und b berechnen klar. N
ur wie bringe ich hier die ganzen gegebenen Werte mit ein?? Dort habe ich ja nur 1 und 0 quasi für Kopf oder Zahl gehabt.
LG Katthi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 So 13.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Katthi,
also, ich definiere mal zur Abkürzung die Teststatistik [mm] T:=T(\underline{X}):=\summe_{i=1}^{N}X_i. [/mm] Damit der Test einer zum Niveau [mm] \alpha [/mm] ist, muss (unter der Bedingung, dass [mm] H_0 [/mm] zutrifft)
[mm] E_{H_0}(f)=1*P_{H_0}(T>b)+a*P_{H_0}(T=b)=\alpha
[/mm]
gelten. Das ist eigentlich der altbekannte Ansatz aus der Schule (allerdings in mathestudiumversion) für den Fehler 1.Art.
Die Randomisierung benutzt man ja nur, wenn man das Niveau sonst nicht voll ausschöpfen könnte. Also kucken wir erstmal, für welches b noch [mm] $P(T>b)\le [/mm] 0,05$ gilt. T ist ja [mm] P_{n*\lambda} [/mm] verteilt. Im Falle, dass [mm] H_0 [/mm] zutrifft also [mm] P_{20}.
[/mm]
[mm] $P_{\lambda=20}(T>b)\le [/mm] 0,05 $
[mm] $\gdw 1-P_{\lambda=20}(T>b)\ge1-0,05$
[/mm]
[mm] $\gdw P_{\lambda=20}(T\le b)\ge [/mm] 0,95 $
und jetzt fängt man an von T=0 ab aufzusummieren, bis man das erste mal über 0,95 kommt oder hat Glück und hat eine W'keitstabelle zu nachkucken. Ich hab das Wolfram Alpha mal machen lassen und komme auf b=28 mit (auf die vierte Nachkommastelle gerundet) [mm] $P_{\lambda=20}(T\le [/mm] 28)=0,9657 [mm] \gdw P_{\lambda=20}(T>28)=0,0343$
[/mm]
Man hat also noch 0,0157 an Niveau zur Verfügung und kann mit [mm] P_{\lambda=20}(T=28)=0,0181 [/mm] aus [mm] a*P_{\lambda=20}(T=28)=0,0157 [/mm] a=0,8674 ausrechnen.
So kriegt man dann eine Entscheidungsregel für den Test.Falls T>28,lehne [mm] H_0 [/mm] ab, falls T=28 lehne [mm] H_0 [/mm] mit 86,74% W'keit ab, nimm [mm] H_0 [/mm] an, falls T<28.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Katthi |
Hallo Walde,
vielen Dank für deine Hilfe, ich habs begriffen =)
LG Katthi
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