Hypergeometrische Verteilung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo luis52 
Ich betrachte gerade die hypergeometrische Verteilung.
[mm] P(X=k)=\bruch{\vektor{K \\ k}\vektor{N-K \\ n-k}}{\vektor{N \\ n}}, [/mm] k=0,...,n.
Ich würde gerne wissen, ob man bezüglich der hier dargestellten Verteilung die folgende Aussage für allgemeingültig erklären kann. Wenn ja, warum?
[mm] \bruch{k}{n}=\bruch{K}{N}
[/mm]
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Mo 09.02.2009 | | Autor: | gaisi |
Hallo!
> Ich würde gerne wissen, ob man bezüglich der hier
> dargestellten Verteilung die folgende Aussage für
> allgemeingültig erklären kann. Wenn ja, warum?
>
>
> [mm]\bruch{k}{n}=\bruch{K}{N}[/mm]
Diese Beziehung gilt im Allgemeinen NICHT!
Lg Karin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Gibt es denn einen speziellen Fall, für welchen sie gilt? In einer Musterlösung wurde so verfahren. Ich habe mich auch über die Richtigkeit dieser Aussage gewundert. Vielen Dank schon einmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Mo 09.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Marcel,
schreib mal Aufgabe und Loesung auf. Ich vermute,
du wirfst da etwas durcheinander.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Di 10.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Zur Feststellung der Anzahl N der vor der Küste Norwegens lebenden bedrohten Buckelwale wurden bei einer Umweltschutzaktion insgesamt 7 Tiere mit einem Sender markiert. Einige Zeit später wurde eine zweite Aktion durchgeführt. Dabei wurden m bedrohte norwegische Buckelwale gesichtet, wovon genau [mm] k(k\le [/mm] m) Tiere gekennzeichnet waren. Es wird angenommen, dass zwischen beiden Umweltschutzaktionen keine Zu- oder Abwanderungen von bedrohten Buckelwalen vor der Küste Norwegens stattgefunden hat und dass keine Markierungen verloren gingen.
(i) Sei X die Zufallsvariable, welche die Anzahl der beobachteten, markierten bedrohten Buckelwale in der zweiten Aktion angibt. Welche Verteilung hat X?
(ii) Sei m=3 und k=2. Welche Anzahl N an bedrohten Buckelwalen vor der Küste Norwegens ist am wahrscheinlichsten? |
Hallo ihr beiden!
Erste Lösung:
X ist hypergeometrisch verteilt zu n=m=3 und k=2. Über die Annahme, dass das Verhältnis von [mm] \bruch{k}{n} [/mm] gleich [mm] \bruch{K}{N} [/mm] ist, können wir N bestimmen.
[mm] \bruch{k}{m}=\bruch{K}{N}\Rightarrow [/mm] N=10.5
Da es keine halben Wale gibt, müssen wir nun prüfen, ob N=10 oder N=11 wahrscheinlicher ist:
P(X=10)=0.525
P(X=11)=0.509
Damit wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit für N=10 Buckelwale am größten ist.
Zweite Lösung:
Wir suchen jenes [mm] N\in\IN, [/mm] für welches P(X=2) mit [mm] X\sim [/mm] H(N.7.m) maximal wird:
[mm] P(X=2)=\bruch{\vektor{7 \\ 2}\vektor{N-7 \\ 1}}{\vektor{N \\ 3}}
[/mm]
[mm] =\bruch{126*(N-7)}{N(N-1)(N-2)}.
[/mm]
Wir betrachten nun die Differenz zwischen [mm] P(X_{1}=2) [/mm] für [mm] X_{1}\sim [/mm] H(N.7.m) und [mm] P(X_{2}=2) [/mm] für [mm] X_{2}\sim [/mm] H(N+1.7.m):
[mm] \bruch{126*(N-7)}{N(N-1)(N-2)} -\bruch{126*(N-6)}{N(N+1)(N-1)}>0
[/mm]
-126*(6N+7)+126*(8N-12)>0
[mm] N>\bruch{19}{2}
[/mm]
Es ist also zu vermuten, dass 10 bedrohte Buckelwale vor der Küste Norwegens leben.
Dritte Lösung:
Über Einsetzen möglicher Werte für N:
Es ist offensichtlich, dass N>7; deshalb
[mm] X\sim [/mm] H(8.7.3): [mm] P(X=2)=\bruch{3}{8}
[/mm]
[mm] X\sim [/mm] H(9.7.3): [mm] P(X=2)=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] X\sim [/mm] H(10.7.3): [mm] P(X=2)=\bruch{21}{40}
[/mm]
[mm] X\sim [/mm] H(11.7.3): [mm] P(X=2)=\bruch{28}{55}
[/mm]
Auch hieraus lässt sich die Vermutung ableiten, dass 10 bedrohte Buckelwale vor der Küste Norwegens leben.
Noch zwei Fragen dazu:
1.) Könnte mir bitte jemand die Umformungen aus der zweiten Lösung etwas näher erläutern? Wird das hier mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks gemacht?
2.) Wie bereits angesprochen, ist mir die Verhältnisrechnung aus der ersten Lösung nicht ganz klar. Wieso darf man hier so vorgehen?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Di 10.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin Marcel,
>
>
> Noch zwei Fragen dazu:
>
>
> 1.) Könnte mir bitte jemand die Umformungen aus der zweiten
> Lösung etwas näher erläutern? Wird das hier mit Hilfe des
> Pascalschen Dreiecks gemacht?
$\vektor{7 \\ 2}}=21$, $\vektor{N-7 \\ 1}}=N-7$ und ${\vektor{N \\ 3}}=\frac{N!}{3!(N-3)!}=\frac{N(N-1)(N-2)}{6} $
>
>
> 2.) Wie bereits angesprochen, ist mir die
> Verhältnisrechnung aus der ersten Lösung nicht ganz klar.
> Wieso darf man hier so vorgehen?
>
Man kann vermuten, dass in einer Stichprobe von m Walen das Verhaeltnis der markierten Wale dem Verhaeltnis in der Gesamtheit entspricht, dass also gelten sollte $k/m\approx K/N$. (Die Gleichung gilt nicht exakt.)
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Di 10.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Okay, vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mo 09.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Marcel,
gaisi hat Recht. Betrachte das Lottospiel hier $N=49$, $K=6$ und $n=6$. Da k die Werte 0,1,2,3,4,5,6 annimmt, ist die Beziehung offensichtlich falsch.
vg Luis
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