Hypergeometrische Verteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Eimer enthält:
a) 10 Lose
b) 100 Lose
c) 1000 Lose, davon 20% Gewinnlose.
Kunde kauft:
a,b) 3 Lose
c) 100 Lose
gesucht:
a,b) P(1 Gewinn)?
P (mind. 1 Gewinn)?
c) P(mind. 25 Gewinne)? |
Hallo,
man soll hier unterscheiden, ob man die Binomialverteilung, die Hypergeometrische Verteilung oder die Normalverteilung benötigt, je nachdem wie groß die Gesamtmenge und die Stichprobe sind.
Ich habe für a) die Hypergeometrische Verteilung gewählt, da es sich um eine kleine Gesamtmenge und um ein Ziehen ohne Zurücklegen handelt.
Die Formel ist:
P(X=0)= [mm] \bruch{\vektor{M \\ k} * \vektor{N-M \\ n-k} }{\vektor{N \\ n}}
[/mm]
Dabei ist M die Anzahl der Gewinnlosen, N ist die Anzahl der Lose insgesamt, n die Anzahl der Versuche und k die Erfolgswahrscheinlichkeit.
Was muss ich jetzt bei M einsetzen? Die Zahl 1?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Do 28.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ein Eimer enthält:
> a) 10 Lose
> b) 100 Lose
> c) 1000 Lose, davon 20% Gewinnlose.
>
> Kunde kauft:
> a,b) 3 Lose
> c) 100 Lose
>
> gesucht:
> a,b) P(1 Gewinn)?
> P (mind. 1 Gewinn)?
> c) P(mind. 25 Gewinne)?
> Hallo,
>
> man soll hier unterscheiden, ob man die Binomialverteilung,
> die Hypergeometrische Verteilung oder die Normalverteilung
> benötigt, je nachdem wie groß die Gesamtmenge und die
> Stichprobe sind.
Was soll "benötigt" hier bedeuten? Es handelt sich in allen Fällen um eine Hypergeometrische Verteilung. Wenn einem allerdings nur ein gewöhnlicher Taschenrechner und ein paar Tabellen zur Verfügung stehen bedient man sich gern der Näherung durch Binomial-, Poisson- oder eben Normalverteilung und da gibts ein paar (absolut nicht in Stein gemeißelte) Faustregeln, unter welchen Voraussetzungen das noch sinnvoll erscheint. Mit der immer stärker werdenden Verbreitung von CAS Programmen, sei es am PC oder in Taschenrechnern, verlieren diese Näherungen zunehmend an praktischer Bedeutung.
>
> Ich habe für a) die Hypergeometrische Verteilung gewählt,
> da es sich um eine kleine Gesamtmenge und um ein Ziehen
> ohne Zurücklegen handelt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Formel ist:
> P(X=0)= [mm]\bruch{\vektor{M \\ k} * \vektor{N-M \\ n-k} }{\vektor{N \\ n}}[/mm]
Soll wohl P(X=k) lauten, oder?
> Dabei ist M die Anzahl der Gewinnlosen, N ist die Anzahl
> der Lose insgesamt, n die Anzahl der Versuche und k die
> Erfolgswahrscheinlichkeit.
Na, k ist ganz sicher keine Wahrscheinlichkeit sondern die Anzahl, wie oft das gewünschte Ereignis (Gewinnlos) eintreten soll!! Für deine erste Aufgabe ist ja wohl k=1 (genau ein Gewinnlos unter den drei gekauften).
>
> Was muss ich jetzt bei M einsetzen? Die Zahl 1?
Du hast doch selbst geschrieben, dass M die Anzahl der Gewinnlose ist und gemeint ist damit die Gesamtanzahl unter allen Losen. Das sind also 20% von 10.
Was das Ergbenis anlangt solltest du 7/15 erhalten.
Gruß RMix
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Hallo leasarfati,
> Ein Eimer enthält:
> a) 10 Lose
> b) 100 Lose
> c) 1000 Lose, davon 20% Gewinnlose.
>
> Kunde kauft:
> a,b) 3 Lose
> c) 100 Lose
>
> gesucht:
> a,b) P(1 Gewinn)?
> P (mind. 1 Gewinn)?
> c) P(mind. 25 Gewinne)?
> Hallo,
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> man soll hier unterscheiden, ob man die Binomialverteilung,
> die Hypergeometrische Verteilung oder die Normalverteilung
> benötigt, je nachdem wie groß die Gesamtmenge und die
> Stichprobe sind.
>
> Ich habe für a) die Hypergeometrische Verteilung gewählt,
> da es sich um eine kleine Gesamtmenge und um ein Ziehen
> ohne Zurücklegen handelt.
Das ist für a) zunächst einmal sicherlich die richtige Wahl.
Generell ist es so, wie in der anderen Antwort schon gesagt wurde: vom Prinzip her sind das alles hypergeometrische Verteilungen, unabhängig von der Anzahl der Lose oder anderer Parameter. Aus dem einfachen Grund nämlich, weil ein einmal verkauftes Los ja nicht zurückgelegt und nochmals verkauft wird.
Nun ist es so, dass man aus unterschiedlichen Gründen versucht, komplizierter verteilte Probleme näherungsweise mit Hilfe einer Binomial- bzw. einer Normalverteilung zu modellieren. Die Betonung liegt hier auf näherungsweise. Das bedeutet nämlich, dass man dabei einen gewissen Fehler in Kauf nimmt. Wie groß dieser sein darf, dafür gibt es naturgemäß keine einheitlichen Regeln. Es ist also vermutlich so, dass ihr in der Schule irgendwelche Entscheidungkriterien gelernt habt, und die bräuchten wir, die müsstest du mit angeben, sonst können wir sicherlich keine belastbare Aussage darüber treffen, was hier wie gerechnet werden soll.
>
> Die Formel ist:
> P(X=0)= [mm]\bruch{\vektor{M \\ k} * \vektor{N-M \\ n-k} }{\vektor{N \\ n}}[/mm]
>
> Dabei ist M die Anzahl der Gewinnlosen, N ist die Anzahl
> der Lose insgesamt, n die Anzahl der Versuche und k die
> Erfolgswahrscheinlichkeit.
>
> Was muss ich jetzt bei M einsetzen? Die Zahl 1?
Wenn das hier die a) ist und sich die 20% Gewinnlose auf alle Aufgabenteile beziehen (das ist nachlässig formuliert!), so sind hier
k=1
M=2
N=10
n=3
Und wie schon angemerkt, darf das hier nicht P(X=0) heißen sondern P(X=k), in deinem Fall damit P(X=1).
Gruß, Diophant
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Vielen Dank. Ich habe auch 7/15 raus. Bei b) habe ich für P(1 Gewinn) 48/125 raus. Ist das richtig? Ich habe dazu die Binomialverteilung verwendet, da die Faustregel bei uns galt: [mm] \bruch{N}{n} [/mm] > 10, dann soll bei einer großen Gesamtmenge N und einer kleinen Stichprobe n die Binomialverteilung verwendet werden.
Mir ist nur unklar, wie ich für a) mindestens 1 Gewinn ausrechne. Gibt es dafür eine Formel?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Do 28.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank. Ich habe auch 7/15 raus. Bei b) habe ich für
> P(1 Gewinn) 48/125 raus. Ist das richtig? Ich habe dazu die
> Binomialverteilung verwendet, da die Faustregel bei uns
> galt: [mm]\bruch{N}{n}[/mm] > 10, dann soll bei einer großen
> Gesamtmenge N und einer kleinen Stichprobe n die
> Binomialverteilung verwendet werden.
>
> Mir ist nur unklar, wie ich für a) mindestens 1 Gewinn
> ausrechne. Gibt es dafür eine Formel?
Hallo,
das Gegenereignis davon lautet "kein Gewinn" und ist leicht zu berechnen.
Gruß Abakus
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Bei mir kommt da 7/15 raus. Ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Do 28.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Bei mir kommt da 7/15 raus. Ist das richtig?
Das kommt darauf, was du hier berechnet haben willst.
Falls es für a) die Wahrscheinlichkeit, keinen Gewinn zu haben, sein soll, dann ist es richtig.
Das war allerdings nicht gefragt.
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Ich versuche auch gerade c) auszurechnen. Ich habe mit dem Kriterium, welches uns unser Mathelehrer genannt hat, bewiesen, dass hier die Normalverteilung angewendet werden muss.
Ich weiß nur nicht genau wie...
Ist meine folgende Rechnung dazu richtig?
[mm] P(X\ge25) [/mm] = Φ [mm] (\bruch{25+0,5-\mu}{σ}
[/mm]
Dabei ist [mm] \mu= [/mm] 20 und sigma= 4
Ist das soweit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Do 28.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ich versuche auch gerade c) auszurechnen. Ich habe mit dem
> Kriterium, welches uns unser Mathelehrer genannt hat,
Ich vermute es handelt sich um $n*p*(1-p)=16>9$
> bewiesen, dass hier die Normalverteilung angewendet werden
> muss.
Nicht "muss", "darf", aber das hatten wir ja schon.
Es ist eben einfacher einen Wert einer Tabelle zu entnehmen als 25 (wenn man es ungeschickt anstellt sogar 76) Wahrscheinlichkeiten mit HG Verteilung zu berechnen und zu addieren. Das genaue Ergebnis wäre gekürzt ein Bruch, dessen Zähler und Nenner ganze Zahlen mit mehr als 100 Stellen sind und der gerundet $11,922\ [mm] \%$ [/mm] ergibt.
>
> Ich weiß nur nicht genau wie...
>
> Ist meine folgende Rechnung dazu richtig?
> [mm]P(X\ge25)[/mm] = Φ [mm](\bruch{25+0,5-\mu}{\sigma})[/mm]
>
> Dabei ist [mm]\mu=[/mm] 20 und sigma= 4
>
> Ist das soweit richtig?
Nein. [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] sind richtig, aber der von dir angegebene Ausdruck berechnet [mm] $P(X\le{}25)$, [/mm] also nicht ganz die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Hier liegt ein Fall vor, bei dem diese Näherung nicht besonders gut ist und hier wirkt sich sogar die Stetigkeitskorrektur (das +0.5) negativ aus.
Man erhält mit Normalverteilung ohne Stetigkeitskorrektur den Wert $10,57\ [mm] \%$ [/mm] und mit Korrektur $8,46\ [mm] \%$, [/mm] also ein noch größerer Fehler (der genau Wert ist, wie schon geschrieben, [mm] $\approx [/mm] 11,92\ [mm] \%$.
[/mm]
P.S.: Die Werte, die du mit Normalverteilung erhältst, können von den oben angeführten geringfügig abweichen und sind von der von dir verwendeten Tabelle abhängig. Meine Werte wurden rechnerunterstützt ermittelt.
Gruß RMix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Do 28.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Vielen Dank. Ich habe auch 7/15 raus. Bei b) habe ich für
> P(1 Gewinn) 48/125 raus. Ist das richtig? Ich habe dazu die
> Binomialverteilung verwendet, da die Faustregel bei uns
> galt: [mm]\bruch{N}{n}[/mm] > 10, dann soll bei einer großen
> Gesamtmenge N und einer kleinen Stichprobe n die
> Binomialverteilung verwendet werden.
Nicht "soll" verwendet werden, eher "kann". Man muss sich bewusst sein, dass es sich dabei um eine Approximation handelt, die der einfacheren Berechnung wegen verwendet wird. Die diversen Faustregeln sollen sicherstellen, dass die Näherungen nicht zu sehr vom genauen Ergebnis abweichen, können das aber keineswegs garantieren. So kann eine Näherung bei erfüllter Faustregel trotzdem sehr stark vom genauen Ergebnis abweichen und umgekehrt kann in einem anderen Fall die Näherung recht gut sein, obwohl die Faustregel nicht erfüllt ist.
Jedenfalls ist dein Ergebnis [mm] $\br{48}{125}=38,4\ \%$ [/mm] für b) bei Näherung mit Binomialverteilung richtig und weicht nur gering vom genauen Ergebnis [mm] $\br{632}{1617}\approx{39,09\ \%}$ [/mm] ab.
> Mir ist nur unklar, wie ich für a) mindestens 1 Gewinn
> ausrechne. Gibt es dafür eine Formel?
Mit der Gegenwahrscheinlichkeit, aber das wurde dir ohnedies bereits geschrieben. Das sollte hier [mm] $\br{61}{125}=48,8\ \%$ [/mm] ergeben, im Vergleich zum genauen Ergebnis [mm] $\br{3977}{8085}\approx{49,19\ \%}$
[/mm]
Gruß RMix
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