Hyperebene im Dualraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Peter17 |
| Aufgabe | Geben Sie drei verschiedene Linearformen [mm] l_{i}\* :R^{4x1} \to [/mm] R (i [mm] \in [/mm] {1,2,3}) und eine Hyperebene H [mm] \subset R^{4x1} [/mm] so an, dass folgende beide Eigenschaften gelten:
1. Die Familie [mm] (l_{1}\*, l_{2}\*, l_{3}\*) [/mm] ist linear unabhängig in [mm] (R^{4x1})\*
[/mm]
2. Die drei Einschränkungen [mm] l_{i}\*|H [/mm] sind alle nicht trivial und bilden eine linear abhängige Familie von [mm] H\*. [/mm] |
An diesem Beispiel stize ich leider schon länger. Ich hätte als [mm] l_{1}={1,0,0,0}, l_{2}={0,1,0,0} [/mm] etc. genommen. Aber wie gebe ich eine Hyperbene an bzw. wie ist die zweite Forderung zu verstehen?
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
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> Geben Sie drei verschiedene Linearformen [mm]l_{i}\* :R^{4x1} \to[/mm]
> R (i [mm]\in[/mm] {1,2,3}) und eine Hyperebene H [mm]\subset R^{4x1}[/mm] so
> an, dass folgende beide Eigenschaften gelten:
>
> 1. Die Familie [mm](l_{1}\*, l_{2}\*, l_{3}\*)[/mm] ist linear
> unabhängig in [mm](R^{4x1})\*[/mm]
> 2. Die drei Einschränkungen [mm]l_{i}\*|H[/mm] sind alle nicht
> trivial und bilden eine linear abhängige Familie von [mm]H\*.[/mm]
> An diesem Beispiel stize ich leider schon länger. Ich
> hätte als [mm]l_{1}={1,0,0,0}, l_{2}={0,1,0,0}[/mm] etc. genommen.
> Aber wie gebe ich eine Hyperbene an bzw. wie ist die zweite
> Forderung zu verstehen?
>
Hallo,
die Linearformen sollen auf H nicht die Nullabbildung sein.
Such Dir eine Hyperebene H des [mm] \IR^4 [/mm] aus, also einen dreidimensionalen Unterraum.
Diese wird von drei l.u. Vektoren [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] aufgespannt.
Ergänze diese Basis durch einen Vektor [mm] v_4 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^4.
[/mm]
Stell nun die zu dieser Basis duale Basis auf. Der Kern des 4. Basisvektors der dualen Basis ist gerade H, und die anderen Basisvektoren sind auf H nicht die Nullabbildung.
Gruß v. Angela
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