Hyperebene < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 So 24.02.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] \mu\in\IC [/mm] und
[mm] T\in{Hom(\IC^2)}, (x,y)\mapsto{(x-\mu*y,x+\mu^3*y)}.
[/mm]
Für welche [mm] \mu\in\IC [/mm] ist Kern T (=:H) eine Hyperebene?
In diesen Fällen ist ein [mm] S\in{(\IC^2)} [/mm] anzugeben mit Kern S = H. |
Hi,
ich bin es mal wieder ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") .
Ich weiß nicht recht, wie ich die Aufgabe angehen soll. Ich habe mir folgendes gedacht:
Schnell mal die Definition bei Wiki nachgeschlagen:
Einen (affinen) Unterraum eines Vektorraumes mit Kodimension 1 nennt man (affine) Hyperebene.
Okay, d.h., damit [mm] \red{Kern T (=:H)} [/mm] eine Hyperebene ist, muss gelten, dass
[mm] dim(\IC^2)=dim(\red{H})+dim(U), [/mm] wobei U Co-VR mit dim(U)=1.
Es ist demach [mm] dim(\red{H})=dim(\IC^2)-1=2-1=1. [/mm] Soweit okay?
Ich muss mich also fragen, für welche [mm] \mu\in\IC [/mm] gilt:
[mm] dim(\red{H})=dim(Kern(T))=1
[/mm]
Zur Erinnerung: [mm] T\in{Hom(\IC^2)},(x,y)\mapsto{(x-\mu*y,x+\mu^3*y)}
[/mm]
Ich habe mir gedacht, [mm] dim(\red{H})=dim(Kern(T))=1 \gdw{x-\mu*y=x+\mu^3*y}\gdw \mu=0 [/mm] oder [mm] \mu=i [/mm] oder [mm] \mu=-i
[/mm]
Ist das soweit okay?
In diesen Fällen ist ein [mm] S\in{(\IC^2)} [/mm] anzugeben mit Kern S = H.
Hier fehlt mir jeglicher Ansatz.
MfG barsch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
Zur Definition der Hyperebene: Die ist korrekt, aber wozu führst du das U ein? Es heißt einfach: H Hyperebene [mm]\Longleftrightarrow \dim H = \dim \IC^2 - 1 = 2-1 = 1[/mm].
Dein Ergebnis H Hyperebene [mm]\Longleftrightarrow \mu \in \{ 0, i, -i \}[/mm] ist korrekt. Allerdings ergibt die Rechnung keinen Sinn, denn was sollen dort x und y bedeuten?
Ein anderer Vorschlag, so dass du auch die Zusatzfrage lösen kannst: Schreibe dir die Abbildung als Matrix hin. Dann ist der Kern genau dann eine Hyperebene, wenn die Matrix den Rang 1 hat, d.h. hier z.B. wenn ihre Zeilen linear abhängig sind. Die Zeilen der Matrix verraten dir dann auch das S [mm] \in (\IC^2)^\ast [/mm] (Dualraum, so lese ich die Aufgabenstellung) mit [mm]Kern(S)=H[/mm].
Grüße.
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