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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Fr 27.04.2007 | | Autor: | clover84 |
| Aufgabe | geg: Sei V VR mit dimV=n, H, H' Hyperebenen, dimH=dimH'=n-1,
a [mm] \in [/mm] H [mm] \backslash [/mm] {0}, b [mm] \not\in [/mm] H, a' [mm] \in H'\backslash [/mm] {0}, b [mm] \not\in [/mm] H'.
Behauptung: Dann existiert ein [mm] \alpha \in [/mm] GL (V): [mm] \alpha(H)=H', \alpha(a)=a', \alpha(b)=b' [/mm] |
Hallo zusammen,
mein Ansatz dazu lautet:
Da [mm] a\not=0, [/mm] folgt daraus, dass {a} linear unabhängig ist. Deshalb gibt es eine Basis B von H mit [mm] {a}\subseteq [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] H.
Da b [mm] \not\in [/mm] H, C=B [mm] \cup [/mm] {b}= { [mm] a=a_{1},a_{2},...,a_{n-1},b [/mm] } eine Basis von V.
Analog definiere ich eine Basis
C'= { [mm] a'=a_{1}',...,a_{n-1}',b' [/mm] } von V.
Nach dem Satz der linearen Fortsetzung gibt es eine lineare Abbildung [mm] \alpha:V \to [/mm] V mit [mm] \alpha(a_i)=a'_i [/mm] und
[mm] \alpha(b)=b'. [/mm] Dass [mm] \alpha(a)=a' [/mm] und [mm] \alpha(b)=b' [/mm] ist nach der Konstruktion klar.
Bleibt noch zu zeigen, dass [mm] \alpha(H)=H'
[/mm]
Ist das soweit richtig?? Bei dem letzten Teil komm ich leider nicht weiter, d.h. ich kann [mm] \alpha(H)=H' [/mm] nicht beweisen.
Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen? :-/
Danke im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 So 29.04.2007 | | Autor: | SEcki |
> mein Ansatz dazu lautet:
[...]
Alles richtig.
> Bleibt noch zu zeigen, dass [mm]\alpha(H)=H'[/mm]
Das ist aber klar. 
Du bildest die Basis von H surjektiv auf die von [m]H'[/m] ab, also ist die zugehörige Abbildung surjektiv. Aus Dim.gründen ist man dann fertig. (In Wahrheit sind 2 VR isomorph wenn man eine Basis bijektiv auf die andere abbilden kann - denn dann gibt es sofort zwei zueiander inverse Homomorphismen!)
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 14.05.2007 | | Autor: | EmiliaG |
> > mein Ansatz dazu lautet:
> [...]
>
> Alles richtig.
>
> > Bleibt noch zu zeigen, dass [mm]\alpha(H)=H'[/mm]
>
> Das ist aber klar.
>
> Du bildest die Basis von H surjektiv auf die von [m]H'[/m] ab,
> also ist die zugehörige Abbildung surjektiv. Aus
> Dim.gründen ist man dann fertig. (In Wahrheit sind 2 VR
> isomorph wenn man eine Basis bijektiv auf die andere
> abbilden kann - denn dann gibt es sofort zwei zueiander
> inverse Homomorphismen!)
>
> SEcki
Hallo,
könnte mir das bitte jemand ausführlich darstellen?
Vielen lieben Dank im voraus.
Gruß, Emilia
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Abb. [mm] \alpha [/mm] ist doch gerade so gemacht, daß die Basis von H auf die von H' abgebildet wird.
Da man es mit einer linearen Abbildung zu tun hat, ist [mm] \alpha|_H: [/mm] H-->H'
surjektiv,
denn sei [mm] x\in [/mm] H'. Dann gibt es [mm] \lambda_i [/mm] mit [mm] x=\summe_{i=1}^{n-1}\lambda_ia_i^{'}=\summe_{i=1}^{n-1}\lambda_i\alpha(a_i)
[/mm]
[mm] =f(\summe_{i=1}^{n-1}\lambda_ia_i) \in \alpha(H)
[/mm]
Gruß v. Angela
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