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Hyperbolische Funktion: Beweis einer Funktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Sa 13.10.2007
Autor: NichtExistent

Aufgabe
Beweis oder Gegenbeispiel: [mm]\sinh(2x)=2*\sinh x * \cosh x[/mm]

Hey,
ich wollte nur fragen ob ich den Beweis richtig gemacht habe oder net? Das sollte doch reichen um zu beweisen das es so ist, oder?

[mm]\sinh(2x) = 2 * \sinh x * \cosh x[/mm]
[mm]\sinh(2x) = 2 * \frac{1}{2}*(e^x - e^{-x})* \frac{1}{2}*(e^x + e^{-x})[/mm]
[mm]\sinh(2x) = \frac{1}{2}* (e^x - e^{-x})*(e^x + e^{-x})[/mm]
[mm]\sinh(2x) = \frac{1}{2}* (e^x )^2+(e^{-x})^2[/mm]
[mm]\sinh(2x) = \frac{1}{2}* (e^{2x}+e^{-2x})[/mm]
[mm]\sinh(2x) = \sinh(2x)[/mm]

Sorry für die dumme Frage.

Danke,
Ich

P.S.: ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Hyperbolische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Sa 13.10.2007
Autor: schachuzipus

Hallo NE,

> Beweis oder Gegenbeispiel: [mm]\sinh(2x)=2*\sinh x * \cosh x[/mm]
>  
> Hey,
>  ich wollte nur fragen ob ich den Beweis richtig gemacht
> habe oder net? Das sollte doch reichen um zu beweisen das
> es so ist, oder?
>  
> [mm]\sinh(2x) = 2 * \sinh x * \cosh x[/mm]
>  [mm]\sinh(2x) = 2 * \frac{1}{2}*(e^x - e^{-x})* \frac{1}{2}*(e^x + e^{-x})[/mm]
>  
> [mm] \sinh(2x) [/mm] =  [mm] \frac{1}{2}* (e^x [/mm] - [mm] e^{-x})*(e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm]

[ok] bis hierher hast du die rechte Seite richtig umgeformt

> [mm] \sinh(2x) [/mm] =  [mm] \frac{1}{2}* (e^x )^2+(e^{-x})^2 [/mm] [notok]

Das ist doch die 3.binom. Formel

Also [mm] $....=\frac{1}{2}* (e^x )^2\red{-}(e^{-x})^2$ [/mm]

>  [mm]\sinh(2x) = \frac{1}{2}* (e^{2x}+e^{-2x})[/mm]


Das wäre demnach auf der rechten Seite [mm] $\cosh(2x)$ [/mm]

> [mm]\sinh(2x) = \sinh(2x)[/mm]


>  
> Sorry für die dumme Frage.


Das nimmst du zurück ;-)

  
> Danke,
>  Ich

Bis auf den VZF alles i.O.


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Hyperbolische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Mo 22.10.2007
Autor: NichtExistent

Hallo schachuzipus,

sorry für die späte Antwort. Ich hatte leider etwas Stress. Danke für deine schnelle Hilfe. Stimmt, da war ja die Binomische Formel. Aber dann sollte das ja dann auf der rechten Seite

[mm]\sinh(2x) = \frac{1}{2}\cdot{} (e^{2x}-e^{-2x})[/mm]

heißen, oder? Also wäre dann doch [mm]\sinh(2x)=\sinh(2x)[/mm]. Oder sehe ich das falch?

Vielen lieben Dank,
NE
Bezug
                        
Bezug
Hyperbolische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Mo 22.10.2007
Autor: Steffi21

Hallo, bedenke, das Vorzeichen ist negativ, das Quadrat wird gebildet, somit positiv, Steffi
Bezug
                                
Bezug
Hyperbolische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Mo 22.10.2007
Autor: NichtExistent

Hallo Steffi,

ja stimmt schon, aber da steht doch [mm]\frac{1}{2}\cdot{} (e^x )^2\-(e^{-x})^2[/mm]. Also das quadrieren ist doch nur auf die "e-Termine" bezogen?! Also sollte da doch das Minus erhalten bleiben, oder? Habe ich jetzt nen Brett vor'm Kopf?

Grüße,
me
Bezug
                                        
Bezug
Hyperbolische Funktion: 3. binomische Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Mo 22.10.2007
Autor: Loddar

Hallo NichtExistent!


Duch die 3. binomische Formel bliebt das Minuszeichen erhalten und man erhält:

$$... \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^x-e^{-x}\right)*\left(e^x+e^{-x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[ \ \left(e^x\right)^2 \ \red{-} \ \left(e^{-x}\right)^2 \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^{2x} \ \red{-} \ e^{-2x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \sinh(2*x)$$ [/mm]
Du hast also Recht ...


Gruß
Loddar

Bezug
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